对策论
由“齐王赛马”引入
管理运筹学对策论
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1.对策论的基本概念
• 三个基本要素；
• 1.局中人：参与对抗的各方；
• 2.策略集：局中人选择对付其它局 中人的行动方案称为策略。
某局中人的所有可能策 略全体称为策略集；
3.局势对策的益损值：各局中人各自
使用一个对策就形成一个局势，一
个局势决定了个局众人 的对策结果
3
0（乙得益 0） j i
4
3管（理运乙筹学对得策论益-3）
9
• 甲采取策略2 不管乙采取如何策略， 都至少得益。
• 乙采取策略3 不管甲采取如何策略， 都至少可以得益。（最多损失0）
分别称甲，乙公司的最优策略，由唯 一性又称最优纯策略。
存在前提：
max min aij = min max aij = v
（量化）称为该局势对策的益损值）
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“齐王赛马”齐王在各局势中 的益损值表（单位：千金）
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• 齐王的策略集: S1={1, 2, 3, 4, 5, 6}
• 田忌的策略集： S2={1, 2, 3, 4, 5, 6} 下列矩阵称齐王的赢得矩阵：
3 1 1 1 -1 1
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再讨论“齐王赛马”
• “齐王赛马”的赢得矩阵A有
max
i
min
•
-3 0 -2 0
• A= 2 3 0 1
•
-2 -4 -1 3
• 问：甲公司应采取什么策略比较适 合？
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甲：
采取1至少得益–3(损失 3）
2
0
3
-4(损失 4）
取大则取2 max min aij= 0
ij
乙：
采取1甲最多得益2 （乙最少得益-2） 取小则取3
2
3（乙得益-3） min max aij= 0
这也是乙损失的平均值，越小越好
作变换： Y1= Y1’/V ; Y2= Y2’/V
• 建立线性模型：
max Y1+Y2 s.t. 5Y1+9Y21
8Y1+6Y21 Y1, Y20
管理运筹学对策论
Y1= 1/14 Y2= 1/14 1/V= Y1+Y2=1/7 所以：V=7
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• 返回原问题： Y1’= Y1V= 1/2 Y2’= Y2V= 1/2
• aij代表甲方取策略i,乙方取策略j,这一 局势下甲方的益损值，此时乙方的益损
值为-aij（零和性质）。 • 在讨论各方采用的策略是必须注意一个
前提就是对方是理智的。这就是要从最
有把握取得的益损值情况考虑。
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2.矩阵对策的最优纯策略(续)
• 例：有交易双方公司甲和乙，甲有 三个策略1，2，3；乙有四个策 略1，2，3，4，根据获利情况建 立甲方的益损值 赢得矩阵。
• 一个思路：对甲（乙）给出一个选取不 同策略的概率分布，以使甲（乙）在各 种情况下的平均赢得（损失）最多（最 少）。-----即混合策略
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• 求解方法：线性规划法
• （其他方法：图解法，迭代法，线性方程 法等略）
• 例： 5 9 设在最坏的情况下，
• A=
甲赢得的平均值为V.
•
例：设一个赢得矩阵如下:
min
59 5
A=
max 6 策略2
86 6
i
max 8 9
min 8 策略1 j
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• 矛盾：甲取2 ，乙取时1，甲实际赢得
8比预期多2（乙就少2）这对乙讲是不满
意的，考虑这一点，乙采取策略2，若甲 分析到这一点，取策略1，则赢得更多
为9…
• 此时，甲，乙芳没有一个双方均可接受 的平衡局势。
i
j
j
i
又称（ 2 ，3 ）为对策G={s1,s2,A}
的鞍点。值V为G管理的运筹值学对策。论
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3.矩阵对策的混合策略
• 设矩阵对策 G ={S1,S2,A}
• 当 max min aij min max aij
ij
ji
时，不存在最优纯策略 混合策略。
求解
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3.矩阵对策的混合策略
于是乙的最优混合策略为：
以1/2的概率选1；以1/2的概率选2 最优值V=7.
• 当赢得矩阵中有非正元素时，V0的条件不 一定成立，可以作下列变换：
选一正数k，令矩阵中每一元素加上k得 到新的正矩阵A’，其对应的矩阵对策
G’= { S1,S2,A’}与 G ={ S1,S2,A }
解相同，但VG = V ’ - k G管理运筹学对策论
返回原问题： X1’= X1V= 1/3 X2’= X2V= 2/3
于是甲的最优混合策略为：
以1/3的概率选1；以2/3的概率选2
最优值V=7.
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• 同样可求乙的最优混合策略：
• 设乙使用策略1的概率为Y1′ Y1′+Y2′=1 •设设乙在使最用坏策的略情况2的下概，率甲为赢Y得2′的平Y1′均,值Y2为′V0.
STEP 2
作变换： X1= X1’/V ; X2= X2’/V • 得到上述关系式变为：
X1+ X2=1/V (V愈大愈好）待定
5X1+ 8X21
9X1+ 6X21
X1, X20
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• 建立线性模型：
min X1+X2 s.t. 5X1+8X21
9X1+6X21 X1, X20
X1= 1/21 X2= 2/21 1/V= X1+X2=1/7 所以：V=7
1 3 1 1 1 -1
A= 1 -1 3 1 1 1
-1 1 1 3 1 1
1 1 1 -1 3 1
1 1 -1 1 1 3
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1.基本概念（续）
二人有限零和对策：（又称矩阵策略）
➢局中人为2； ➢每局中人的策略集中策略权目有限； ➢每一局势的对策均有确定的损益值，
并且对同一局势的两个局中人的益 损值之和为零。
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（未知）
• STEP 1
• 1)设甲使用策略1的概率为X1′ X1′+X2′=1 设甲使用策略2的概率为X2′ X1′,X2′0
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2)无论乙取何策略，甲的平均赢得应不少 于V:
• 对乙取1：5X1’+ 8X2’V • 对乙取2：9X1’
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1.基本概念（续）
• 记矩阵对策为:
•
G = {S1, S2, A}
•
• 甲的策略集
甲的赢得矩阵
•
乙的策略集
• “齐王赛马”即是一个矩阵策略.
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2.矩阵对策的最优纯策略
• 在甲方赢得矩阵中：
•
A=[aij]m*n
• i行代表甲方策略 i=1,2…m
• j行代表乙方策略 j=1,2…n