常微分方程的建模训练各位同学：欢迎大家开始《高等数学》课程的第二阶段的学习。

本次辅导材料是关于建立微分方程的模型，主要目的有2个。

一是开阔大家的视野，二是练习如何将一个实际问题用数学语言描述出来，也就是平时讲的建模，这是一个理工科学生的最重要的基本功之一。

希望大家努力掌握之。

建立微分方程的途径主要有：1）根据问题的性质，利用相应学科已经知道的客观规律，比如研究物体的运动，在已知外力的情况下，可运用著名的牛顿第二定律；研究热力学问题，可以用热力学定律，研究电路问题就可以用电路的基尔霍夫定律等。

2）对于一些没有明显规律可用时，可以考虑应用微元法（上学期学习积分时已经学习过），这时，需要考虑的是在自变量[,d]+的微段d x中，函数的增x x x量的微分表达式。

本次材料包括的题目不少，你可能没有太多的时间做。

没有关系，可以边学边做，或有空时做，拳不离手，曲不离口，功夫是逐渐炼成的。

要注意的是，对一个确定的问题，仅仅列出微分方程是不够的，还要有一组初始条件或边界条件，才能使微分方程的通解具体化，称为一个对应与问题本身的特解！如何列出这样的条件，也需要训练你的观察能力，因为很多题目中，这些条件常隐含在题目的叙述中。

本次练习不要求你去求解这些方程，但随着我们课堂的进度，当你学会微分方程的求解后，你再去求解它们。

好，开始吧！1. 有一类物质具有放射性，根据观察，放射性元素的质量随时间推移而逐渐减少，这种现象称为衰变。

由实验测定，每一时刻放射性元素镭的衰变率（即质量减少的速率）与该时刻λ>。

求镭的衰变规律。

的镭的质量成正比，比例系数0又由经验判断，镭经过1600年后，只剩下原始量的一半，求镭的质量R与时间t的函数关系。

2. 物理上把已知物体质量和外力的条件下，求物体的运动规律的问题称为动力学问题。

物s t来表示。

体的运动可用它的位移量()已知物体质量为m的物体在外力F的作用下沿外力的方向作直线运动。

试根据下列提供的外力特点，求物体的运动规律：1）外力为地球重力；2）外力为与其速度的平方成反比的阻力；3）外力为与其位移成正比，但方向相反的弹性恢复力；4） 外力为独立的时间周期性外力sin A t ω；5） 外力为上述阻力和周期性外力的合力。

请你观察这些方程各有什么特点？结合课程学习，请仔细琢磨对应的解法会有何不同？3. 一门大炮以初速度0v ，以初始射角（仰角）α发射一发炮弹，不计空气阻力，求炮弹的弹道方程。

4. 求曲线族2y cx =（其中c 为任意常数）的正交轨线族的方程式。

（两族曲线正交指两曲线在交点处的切线相互垂直）5. （盯梢问题）甲乙两人，乙对甲盯梢，即乙与甲保持一定距离a ，盯着甲而行，若甲沿直线前进，问乙的运动路线如何？假设甲开始时的位置不在乙的行走直线上。

6. （追击问题）兔子从原点出发沿y 轴方向以速度a 逃跑，同时一只狐狸从(,0)c 出发，以速度b 追捕兔子，求狐狸的追捕路线，并讨论狐狸最终能捉着兔子的条件。

7. 质量为1克的指点受力作用作直线运动，此力和时间成正比，和质点运动的速度成反比。

在10秒时，速度等于50cm /秒，力为4达因。

问从运动开始经过1分钟后的速度为多少？8. 根据水利学的定律，水从距自由面的深度为h cm 的孔流出，它的流速为v 中g 为重力加速度。

现有盛满水而高度为1米的半球形容器，水从它的底部的一个面积为1平方厘米的孔流出，孔口收缩系数为0.6（该收缩系数指流出来的水柱截面积与孔口的面积之比）。

求流尽水所需要的时间。

9. 一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴肩的任意切线线段均被切点所平分。

求该曲线方程。

10．求一曲线方程，使得曲线上任意一点处的切线恒垂直于此点与原点的联线。

11. 一曲线通过（2，0）点，且在其切点与纵坐标轴肩的切线段有定长2，求此曲线方程。

12. 曲线()0y f x =≥，且通过原点和（1，1）点，它围成一以[0,]x 为底的曲边梯形，其面积与()f x 的1n +次幂成正比，求此曲线方程。

13. 求曲线族，使其在,x a x b ==间的一段弧长k 倍于此弧与,x a x b ==及x 轴所围的面积。

14. 求一曲线族，使其上任何点P 处的切线在y 轴上的截距等于原点到P 的距离。

15. 求一曲线，使曲线的切线上自切点至与x 轴的交点的一段距离为常数a 。

16. 求一曲线，使曲线的法线上自曲线上的点至与x 轴的交点的一段距离为常数a 。

17. 求一曲线族，它在任何点的矢径（指原点到该点的有向线段）与在该点的切线所夹的角ψ为矢径与极轴间的夹角的n 倍。

（提示：设曲线的极坐标方程为()r r θ=，则d t a n /d r r ψθ=）18. 一汽艇在以10km/小时的速度在静水上运动时停止了发动机，经过20秒后，艇的速度减至6km/小时。

试确定发动机停止2分钟后艇的速度。

19．假定物体在空气中的冷却速度正比于该物体的温度与它周围空气的温度之差。

有一物体加热到0T 度时移入室内，如果室问保持常值a 度，求温度随时间变化的关系。

20. （续上题）假设是问为20︒C ，一物体由100︒C 冷却到60︒C 需要经过20分钟时间。

问共需要经过多少时间方可使该物体的温度从开始时的100︒C 降低到30︒C ？21. 根据物理学中热力学的波意尔定律，理想气体的密度与所受压力成正比。

假设在海平面上每一平方厘米大气压力等于1千克，离海平面高度500米时，每一平方厘米大气压力等于0.92千克。

求大气压力与高度的关系。

22. 将质量为m 的物体在空气中以速度0v 垂直上抛，空气阻力为2kv （k 为常数），求在上升过程中速度与时间的关系。

又问该物体何时返回到抛射点？23. 在上题中，若空气阻力该为kv ，继续上题的问答。

24. 质量为m 的指点沿直线运动，受力为F a bv =-，其中,a b 为正的常数，v 为质点运动速度。

若质点从静止出发，求它的速度与时间的关系。

25. 有一放置在铅垂平面内的刚性曲线，如果曲线以常角速度ω绕该平面内一铅垂直线旋转时，在曲线任一点处放置的质点都能处于平衡状态。

求此曲线的方程。

26. 设一物体质量m ，以初速度0v 从一斜面上推下，若斜面的倾角为α，摩檫系数为μ，试求物体在下面上移动的距离和时间的关系。

27. 求"y x =的经过点（0，1）切在此点与直线12x y =+相切的积分曲线。

28. 求曲率半径为常数的曲线。

29. 设曲线（在x 轴上方）在它的每一点处的曲率半径等于该点处法线在曲线与x 轴间的长度。

证明：若曲线是凸的，则它是悬链线；若曲线是凹的，则它是半圆周。

（该题请在讲了悬链线方程后做）30. 设弹簧的上端固定，有两个相同的重物（每个质量为m ）挂于弹簧的下端，使弹簧伸长了2a 。

今突然取走其中的一个，使弹簧有静止开始振动。

求所挂重物的运动规律。

31. 有一单摆长为l ，质量为m 。

若其摆动角很小，求其运动方程，并确定每振动一次的时间（周期）。

又若摆动角较大，又将如何？（物理学上称的单摆，指摆杆的质量不计的摆，故质量都集中在摆锤处。

）32. 一拉紧的弹簧所受的拉力与他的长度伸长量成正比，当长度增加1cm 时，弹簧拉力为1kg ，今有2kg 的物体挂在弹簧的下端而保持平衡。

假若将它稍下拉，然后松手，求由此产生的振动的周期。

33. 一重4kg 的物体挂在弹簧下端，它使弹簧的长度曾长了1cm ，假定弹簧的上端有一转动机产生铅垂振动2sin 30y t =，且开始时，物体处于静止状态。

求此物体的运动规律。

34. 长为6米的链条自桌自上无摩擦地向下滑动，假定在运动开始时，链条自桌上垂下部分已有1米，问需要多少时间链条才全部划过桌子？35. 一链条挂在一个无摩擦的钉子上，假定运动起始时，链条一边垂下8米，另一边垂下10米。

问整个链条划过钉子需要多少时间？36. 设曲线L 位于第一象限，通过（1.5，1.5），其上任一点P 处的切线总与y 轴相交，交点A 。

已知||||PA OA =，求曲线方程。

37.在上半平面求一条凸的曲线，其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ 长度的倒数（Q 为法线与x 轴的交点），切曲线在（1，1）点出的切线与x 轴平行。

38. 设曲线L 的极坐标方程为()r r θ=，(,)M r θ为L 上的任一点，设0(2,0)M 是L 上的一定点。

若极径0,OM OM 与曲线L 所围成的曲边扇形的面积值等于L 上(,)M r θ和0(2,0)M 两点间的弧长的一半。

求曲线的方程。

39. 在某个人群中推广一种新技术是通过其中掌握了这项新技术的人进行的。

该人群的总人数为N ，在开始时已经掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t 已经掌握新技术的人数为()x t ，由于人数较多，可以将()x t 视为连续可微变量。

如果()x t 的变化率与已掌握新技术的人数和尚未掌握新技术的人数之积成正比，比例系数0k >。

求()x t 的变化规律。

40. 从船上向大海沉方一科学测量仪器。

按测量要求，需确定仪器下沉深度y （从海面算起）与下沉速度v 之间的关系。

设仪器在重力作用下垂直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。

若仪器质量为m ，体积为B ，海水的比重为ρ，且仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数0k >，试建立y 与v 所满足的微分方程，并求函数关系式。

41. 一颗子弹以速度0200v =m/s 打入一块厚为10cm 的板子，穿透板时的速度为80m/s 。

设板对子弹的阻力与子弹速度的平方成正比。

求子弹穿过板所用的时间。

42. 有一个30×30×12立方米的车间，空气中含有1.12%的二氧化碳，现用一台通风能力为每分钟1500立方米的鼓风机通入含有0，04%的二氧化碳的新鲜空气，同时用另一台同样通风能力的鼓风机把混合后的空气抽出。

问鼓风机开动10分钟后，车间内的二氧化碳的百分比降到多少？43. 有一 圆锥形容器，尖顶在下，底在上，顶角为2(045αα<<︒），高为H 。

今在顶部截去高为0H 的小圆锥，使形成一小孔，先用木塞子将孔塞住，并在容器里灌满水，然后把塞子拔去，让水流出。

设水流出的速率为1),v h μ=<<为该时水面与孔的高度差。

问经过多少时间，水将流尽？44. 沿水平方向作直线匀速飞行的麻雀的正上方50m 处有一只秃鹫，在麻雀的正下方100m 处有一只老鹰，鹫和鹰一起朝麻雀飞去捕食，并同时到达捕捉目标。

设鹰的飞行速度是麻雀的2倍，问秃鹫的飞行速度是麻雀的多少倍？45. 狗与其主人在岸边隔岸相对，河水以常速流动。

狗以在静水中2km/小时的游速游向对岸，在全部游程中狗一直保持着朝主人的方向游去。