北方民族大学学士学位论文论文题目:常微分方程在数学建模中的应用院(部)名称:信息与计算科学学院****:***专业:信计学号:********指导教师姓名:魏波论文提交时间:论文答辩时间:学位授予时间:北方民族大学教务处制摘要本文利用常微分方程和数学建模二者之间的联系，了解微分方程的一般理论、微分方程解的存在惟一性、微分方程的稳定性问题、通过几个典型的数学模型如：人口模型、减肥的数学模型、化工车间通风模型、传染病的传播模型及定性分析等例子来体现微分方程在数学建模中的应用. 用数学理论解决实际生活中的问题.微分方程的出现以及运用微分方程在数学建模中的应用，就是为了更好地使更多的人理解并运用数学理论，更好的解决实际生活中的问题.努力在各个领域利用并渗透数学知识的广泛运用.关键词：常微分方程，数学建模，数学模型AbstractIn this paper, ordinary differential equations and mathematical modeling contact between the two, understand the general theory of differential equations, stability problems of the existence and uniqueness of differential equations, differential equations, several typical mathematical models such as: demographic model,example of the mathematical model of weight loss, chemical plant ventilation model, spread of infectious diseases, model and qualitative analysis to reflect the application of differential equations in mathematical modeling. found that the application of mathematical theory to study and solve problems in the actual process of the emergence of ordinary differential equations andOrdinary Differential Equations in Mathematical Modeling widely used, in order to better enable ordinary people to understand and use mathematical theory, solving real-world problems. sublimation theory by the knowledge-based transformation to the ability to type, highlight the differential equationsand differential equations in mathematical modeling efforts made outstanding and significant contribution in various fields.Keywords: ordinary differential equations, mathematical modeling, mathematical model.目录第一章绪论 (4)1.1背景及意义 (4)1.2本文研究的主要内容 (4)第二章微分方程的基本理论及稳定性研究 (6)2.1 微分方程的一般理论 (6)2.1.1微分方程的一般形式 (6)2．1．2微分方程解的存在惟一性 (7)2.2人口模型 (10)第三章常微分方程在数学建模中的应用 (12)3.1 减肥的数学模型 (13)3.2化工车间的通风问题模型 (15)第四章总结 (17)参考文献 (18)致谢 (19)第一章绪论1.1背景及意义常微分方程的发展、形成与许多学科都有着密切的联系，例如几何学、物理学、化学、生物学、经济学甚至电子科技、航天航空等.为数学的分支学科—常微分方程的发展起着深刻而重要的影响，特别是计算机的发展更为常微分方程的应用及理论研究提供有力的工具.数学若想解决实际的许多问题，就要通过观察研究实际对象的特征和内在的关系规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数学模型.而在数学模型求解的问题上，常微分方程是最重要的知识工具.因此继续探讨研究常微分方程在数学建模中的应用依然是有着及其重要的学术价值和及其深刻的现实意义.目前，已有很多学者对此方面进行了研究，例如，朱美玲在《太远城市职业技术学院报》中简要介绍了常微分方程的发展和数学建模的过程以及常微分方程在数学建模中的一些应用,并对数学建模在数学教学中的地位和作用作了一些展望；王英霞在《才智》2011年12期中介绍常微分方程的发展、数学建模的特点;重点介绍了常微分方程与数学建模相互结合,在不同的领域中的相关的具体例子,总结常微分方程在数学建模中的重要性；赵家林在《中国科教创新导刊》2009年第1期中描述了客观是的数量关系的一种重要数学模型.数学领域的中心学科常微分方程至今已有近300年的发展历史，为了寻求、解决类似自由落体下落过程中下落距离和时间的函数关系；研究火箭在空中飞行时的飞行轨道等这类实际性的问题，往往就要求我们找到满足某些特定条件的一个或多个未知数方程，为了解决这类实际问题从而产生了微分方程.把含有未知函数及未知函数导数或微分的方程称之为微分方程.微分方程是在处理实际问题的过程中产生的, 微分方程的研究又促进实际问题的解决,同时也促进其他学科的发展.1.2本文研究的主要内容本文通过对常微分方程、数学模型、以及常微分方程在数学建模中应用的介绍，如：微分方程的一般理论、微分方程解的存在惟一性、微分方程的稳定性问题、人口模型、减肥的数学模型、化工车间的通风问题模型等.发现应用数学理论研究解决实际过程中的问题.而一切数学模型的建立和求解，都是为了更好的应用数学理论指导实际生活.常微分方程的出现以及常微分方程在数学建模中的广泛应用，就是为了更好地使普通人理解并利用数学理论，更好的解决实际中的问题.把理论升华为由知识型向能力型转化，突显微分方程以及微分方程在数学建模中的应用，努力在各个领域做出突出重大贡献.本文共分为四个章节：第一章，对全文进行概述，介绍了常微分方程在数学建模中的应用的背景和意义、国内外的研究现状以及本文研究的主要内容.第二章，微分方程的基本理论及稳定性研究.第三章，常微分方程在数学建模中的应用.第四章，全文综述、总结.第二章 微分方程的基本理论及稳定性研究2.1 微分方程的一般理论微分方程是研究函数变化规律的有力工具，有着广泛的实际应用.针对所研究的对象建立微分方程模型是解决问题的第一步，实际中只有求出微分方程的解才能对所研究的问题进行解释说明.一般说来，求微分方程的解析解是困难的，大多数的微分方程需要数值方法来求解，因此首先需要研究微分方程的解的存在唯一性和稳定性问题.2.1.1微分方程的一般形式一阶微分方程()()⎪⎩⎪⎨⎧==00,x t x t x f dt dx (2.1)其中()x t f ,是t 和x 的已知函数，()00x t x =为初始条件，又称定解条件。

一介微分方程组()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧====,,...2,1,...,2,1,...,,0021n i x t x n i x x x t f dt dx i i n i i (2.2)又称为一阶正规方程组.如果引入向量()()()()()Tn T n x x x x x x x x 00201021,,,,,..., == ()Tn T n dt dx dt dx dt dx dt dx f f f f ⎪⎭⎫ ⎝⎛==,,,,,,,2121 则方程（2.2）可以写为简单的形式()()⎪⎩⎪⎨⎧==00,x t x x t f dt dx (2.3)即与方程（3、1）的形式相同，当n=1时为方程（2.1）.对于任一高阶的微分方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--11,,,;n n n n dt x d dt dx x t f dt x d如果记()(),,,;,2,1,01101--===n n i i i y y y t f dtdy n i y dt x d ，即可化为一阶方程组的形式。

一般解法如下：例1.求方程组yx dx dy -= 解 将变量分离得xdx ydx -=两边积分，即得22222c x y +-= 因而，通解为c y x =+22这里c 是任意正常数.或者解出y ，写出显函数形式的解2x c y -±=2．1．2微分方程解的存在惟一性正规方程组（2.3）的解在什么条件下存在，且惟一呢？有下面的定理. 定理2.1（Cauchy —peano ） 如果函数()x t f ,在b x x t t R ≤-≤-00,:α上连续，则方程组（2.3）在h t t ≤-0上有解()t x φ=满足初值条件()00t x φ=，此处()()x t f M M b a h Rx l ,,,min max ,∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛= 定理3.2 如果函数()x t f ,在b x x t t R ≤-≤-00,:α 上连续，且满足利普希茨（Lipschitz ）条件（即存在正常数L 使得，()()()()()()2121,,x x L x t f x t f -≤-，其中()()()R x t x t ∈21,),,(，则方程组（2.3）满足初值条件()00t x φ= 的解是惟一的。

2.1.3微分方程的稳定性问题在实际问题中，微分方程所描述的是物质系统的运到规律，在用微分方程来研究这个物理过程中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而不得不忽略一些人为次要的因素，这种次要的因素通常称为干扰因素，这些干扰因素在实际中可以瞬时的起作用，也可持续的起作用.从数学上来看，前者会引起初值条件的变化，而后者会影响微分方程本身的变化，在实际问题中，干扰因素是客观存在的，由此可见，对于它的影响程度的研究的必要的，即初值条件或微分方程的微小变化是否也只是引起对应解的微小变化？这就是微分方程的稳定性问题，这里仍以方程组（2.3）为例讨论.(1)有限区间的稳定性如果()x t f ,在某个有限的区域1+⊂n R G 内连续，且对x 满足礼普希茨条件，()()b t a t x ≤≤=ψ是方程组（2.3）的一个特解，则当0x 充分接近于()()b t a t ≤≤00ψ时，方程组（2.3）在b t a ≤≤上满足初值条件()00t x x =的解 ()00,,x t t x φ=有()()()()b t a t x t t t x ≤≤=→ψφψ00,,lim 00 即对0>ε，总存在相应的()0>εδ，当()()εδψ<-00t x 时，对一切b t a ≤≤有()()εψφ<-t x t t 00,,此时称方程组（2.3）的解()t x ψ=在有限区间b t a ≤≤上是稳定的。