数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅰ卷理科数学一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合}242{60{}Mx x N x x x =-<<=--<，，则MN = ( )A .}{43x x -<< B.}42{x x -<<- C .}{22x x -<<D .}{23x x <<2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为()x y ，，则( )A .22+11()x y +=B .221(1)x y +=-C .22(1)1y x +-=D .22(+1)1y x += 3.已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则( )A .a b c <<B .a c b <<C .c a b <<D .b c a <<4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( ) A .165 cm B .175 cmC .185 cmD .190 cm 5.函数()2sin cos x xf x x x +=+在[,]-ππ的图象大致为( )A .B .C .D .6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A .516 B .1132 C .2132 D .11167.已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-⊥a b b ，则a 与b 的夹角为 ( )A .π6B .π3C .2π3D .5π68.如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入( )A .12A A =+ B .12A A =+C .112A A=+D .112A A=+9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==，，则( )A .25n a n =-B . 310n a n =-C .228n S n n =-D .2122n S n n =- 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A .2212x y +=B .22132x y +=C .22143x y +=D .22154x y +=11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：( )①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A .①②④B .②④C .①④D .①③12.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为( )A.B.C.D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为 .14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若214613a a a ==，，则5S = .15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是 .16.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为 .三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.(12分)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-.（1）求A ；（22b c +=，求sinC .18.（12分）如图，直四棱柱1111–ABCD A B C D 的底面是菱形，14260AA AB BAD ==∠=︒，，，E M N ，，分别是11BC BB A D ，，的中点.（1）证明：1MN C DE ∥平面； （2）求二面角1A MA N --的正弦值.数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）19.（12分）已知抛物线C ：23y x =的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .（1）若4AF BF +=，求l 的方程； （2）若=3AP PB ，求AB |.20.（12分）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数.证明： （1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点.21.（12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X . （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==.假设0.5α=，0.8β=.(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性.（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=. （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =.证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第7页（共14页） 数学试卷 第8页（共14页）2019年普通高等学校招生全国统一考试·全国I 卷数学答案解析一、选择题 1．【答案】C【解析】{}|2N x x =-＜＜3，{}|42M x x =-＜＜，{}|2M N x x ∴=-＜＜2，故选C ．【考点】集合的交运算、解一元二次不等式【考查能力】化归与转化、运算求解 2．【答案】C【解析】∵z 在复平面内对应的点为(),y x ，(),z x yi x y ∴=+∈R ．1z i -=，()11x y i ∴+-=，()22y 11x +-=，故选C ．【考点】复数的模的概念和复数的几何意义 【考查能力】化归与转化，数形结合，运算求解 3．【答案】B【解析】2log 0.20a =＜,0.221b =＞，()0.3c 0.201=∈，，a c b ∴＜＜，故选B ． 【考点】对数函数与指数函数的单调性【考查能力】运算求解 4．【答案】B【解析】()()26+260.618+26+260.6180.618=178cm ÷÷÷，故其身高可能是175 cm ，故选B ． 【考点】估算 【考查能力】运算求解 5．【答案】D 【解析】22sin()sin ()()cos()()cos x x x x f x f x x x x x --+-==-=--+-+，()f x ∴为奇函数，排除A ；22sin πππ(π)0cos ππ1πf +==+-+＞，∴排除C ；sin11(1)cos11f +=+，且sin1cos1＞，(1)1f ∴>，∴排除B ．故选D ． 【考点】函数的图象与性质 【考查能力】化归与转化，数形结合，运算求解 6．【答案】A 【解析】由6个爻组成的重卦种数为6264=，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为36654206C ⨯⨯==，根据古典概型的概率计算公式得，所求概率2056416P ==．故选A ．【考点】古典概型、计数原理【考查能力】运算求解7．【答案】B【解析】设a 与b 的夹角为α，()a b b -⊥，()0a b b ∴-⋅=，2a b b ∴⋅=，2||||cos ||a b b α∴⋅=，又|a|=2|b|，1cos 2α∴=，(0,π)α∈，π3α∴=．故选：B【考点】平面向量的垂直、平面向量的夹角【考查能力】化归与转化，运算求解 8．【答案】A 【解析】1A 2=，k=1，12≤成立，执行循环体；1A 122=+，2k =，22≤成立，执行循环体；1A 12122=++，3k =，32≤不成立，结束循环，输出A ．故空白框中应填入1A 2A=+．故选：A ．【考点】当型循环结构 【考查能力】推理论证 9．【答案】A【解析】设等差数列n a 的公差为d ，450,5,S a =⎧⎨=⎩114340,245,a d a d ⨯⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩解得132a d =-⎧⎨=⎩，()1(1)32125n a a n d n n ∴=+-=-+-=-，21(1)42n n n S na d n n -=+=-，故选A ． 【考点】等差数列的通项公式和前n 项和公式【考查能力】运算求解 10．【答案】B【解析】由题意设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=＞＞，连接1F A ,令2F B m =，则2| | 2 A F m =，1| | 3 B F m =．由椭圆的定义知4 2 m a =，得2am =，故21F A a F A ==，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点令2OAF θ∠=（O 为坐标原点），则1sin a θ=．在等腰三角形1ABF 中，12cos 2332aa θ==，所以211123a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得23a =，又21c =，所以2222b a c =-=，椭圆C 方程为22132x y +=．故选：B ． 【考点】椭圆的定义及标准方程 【考查能力】运算求解，化归与转化，数形结合 11．【答案】C数学试卷 第9页（共14页） 数学试卷 第10页（共14页）【解析】()sin |||sin()|sin |||(s )in |f x f x x x x x -=-+-=+=，()f x ∴为偶函数，故①正确；当ππ2x ＜＜时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，()f x ∴在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故②不正确；()f x 在[π,π]-的图像如图所示，由图可知函数()f x 在[π,π]-只有3个零点，故③不正确；sin ||y x =与|sin |y x =的最大值都为1且可以同时取到，()f x ∴可以取到最大值2，故④正确，综上，正确结论的序号是①④．故选C ．【考点】三角函数的图象与性质【考查能力】化归与转化，数形结合，运算求解 12．【答案】D【解析】因为点E ，F 分别为PA ，AB 的中点，所以EF PB ∥，因为90CEF ∠=︒，所以EF CE ⊥，所以PB CE ⊥．取AC 的中点D ，连接BD ，PD ，易证AC ⊥平面BDP ，所以PB AC ⊥，又AC CE C ⋂=，AC ，CE ⊂平面PAC ，所以PB ⊥平面PAC ，所以PB PA ⊥，PB PC ⊥，因为PA PB PC ==，ABC △为正三角形，所以PA PC ⊥，即PA ，PB ，PC 两两垂直，将三校锥P ABC -放在正方体中如图所示。