《高等数学复习》教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法 （1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.（等价小量与洛必达）612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-x x x x x x x x 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->-72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x （洛必达）362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x 3. （重要极限）12112(lim ->-+x xx x x4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t （变量替换）2/30)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a ba t x x xxx x =∴=++=>->-5.)1ln(12)(cos lim xx x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+（变量替换）2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x 6.设连续，，求)('x f 0)0(',0)0(≠=f f 1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f （洛必达与微积分性质）7.已知在x=0连续，求a⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 解：令 （连续性的概念）2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x 三、补充习题（作业） 1. （洛必达）3cos 11lim-=---->-xx x e x x 2. （洛必达或Taylor ）1sin 1(lim 0xx ctgx x ->-3. （洛必达与微积分性质）11lim22=--->-⎰x xt x edte x 第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.决定，求⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由dx dy2.决定，求x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1y x y y ==cos '3.决定，则y x x y y xy+==2)(由dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题 4.求对数螺线处切线的直角坐标方程。

)2/,2/πθρρπθee （），在（==解：1|'),,0(|),(,sin cos 2/2/2/-==⎪⎩⎪⎨⎧====πθππθθθθθy e y x e y e x xe y -=-2/π5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。

求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。

解：需求，等式取x->0的极限有：f(1)=0)1('),1()6('),6(f f f f 或)6(22)1('8)1('4])1()1(3)1()1([lim sin )sin 1(3)sin 1(lim0sin 0-=∴=∴==--+-+=--+>-=>-x y f f t f t f t f t f x x f x f t t x x C.导数应用问题 6.已知，xex f x x xf x x f y --=+=1)]('[2)('')(2满足对一切，求点的性质。

)0(0)('00≠=x x f 若),(00y x 解：令，故为极小值点。

⎩⎨⎧<>>>===-0,00,0)(''00010000x x x e e x f x x x x 代入，7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。

23)1(-=x x y 解：定义域),1()1,(+∞-∞∈ x ：斜：铅垂；；拐点及驻点2100''300'+===⇒===⇒=x y x x y x x y 8.求函数的单调性与极值、渐进线。

xex y arctan 2/)1(+-=π解：，101'arctan 2/22-==⇒++=+x x e xx x y x 与驻点π2)2(-=-=x y x e y 与渐：πD.幂级数展开问题 9.⎰=-xx dt t x dx d 022sin )sin(⎰⎰⎰=⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-=-⋅⋅⋅++--+⋅⋅⋅+-=-+---+⋅⋅⋅+-+--=-⋅⋅⋅++--+⋅⋅⋅+---=----+-x n n n nxn n n n x n x x x dt t x dx d n n x x x t x n n t x t x t x dt t x n t x t x t x t x 02)12(2622147302141732)12(2622sin )!12()1(!31)sin()!12)(14()1(7!3131)sin()!12)(14()()1()(7!31)(31)sin()!12()()1()(!31)()sin(或：2202sin sin )(sin x du u dx d du u dx d u t x x x ==-⇒=-⎰⎰10.求)0(0)1ln()()(2n fn x x x x f 阶导数处的在=+=解：)(2)1(32()1ln(2213222---+--+⋅⋅⋅-+-=+n n n x o n x x x x x x x = )(2)1(321543n nn x o n x x x x +--+⋅⋅⋅-+--2!)1()0(1)(--=∴-n n f n n E.不等式的证明 11.设，)1,0(∈x 211)1ln(112ln 1)1(ln )122<-+<-<++x x x x x ，求证（证：1）令0)0(,)1(ln )1()(22=-++=g x x x x g；得证。

单调下降，单调下降单调下降，时0)()(,0)(')(',0)('')('')1,0(0)0('')0(',0)1()1ln(2)('''),(''),('2<<<∈∴==<++-=x g x g x g x g x g x g x g g x x x g x g x g2）令单调下降，得证。

,0)('),1,0(,1)1ln(1)(<∈-+=x h x xx x h F.中值定理问题 12.设函数具有三阶连续导数，且，]11[)(，在-x f 1)1(,0)1(==-f f ，求证：在（-1，1）上存在一点0)0('=f 3)('''=ξξf ，使证：32)('''!31)0(''!21)0(')0()(x f x f x f f x f η+++=其中]1,1[),,0(-∈∈x x η将x=1，x=-1代入有)('''61)0(''21)0()1(1)('''61)0(''21)0()1(021ηηf f f f f f f f ++==-+=-=两式相减：6)(''')('''21=+ηηf f 3)](''')('''[21)('''][2121=+=∍∈∃ηηξηηξf f f ，，13.，求证：2e b a e <<<)(4ln ln 222a b ea b ->-证：)(')()(:ξf ab a f b f Lagrange =--令ξξln 2ln ln ,ln )(222=--=a b a b x x f 令2222ln )()(0ln 1)(',ln )(e e t t t t t t >∴>∴<-==ξξϕξϕϕϕ （关键：构造函数）)(4ln ln 222a b ea b ->-三、补充习题（作业）1.23)0('',11ln)(2-=+-=y x x x f 求2.曲线012)1,0(2cos 2sin =-+⎪⎩⎪⎨⎧==x y te y t e x tt处切线为在3.ex y x x e x y 1)01ln(+=>+=的渐进线方程为4.证明x>0时22)1(ln )1(-≥-x x x 证：令3222)1(2)('''),(''),(',)1(ln )1()(x x x g x g x g x x x x g -=---=2)1(''0)1(')1(>===g g g ，00'),,1(0'),1,0(0''2'',0'''),,1(2'',0'''),1,0(>∴⎩⎨⎧>∞∈<∈⇒>⇒⎭⎬⎫>>+∞∈><∈g g x g x g g g x g g x 第三讲 不定积分与定积分一、理论要求1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2.定积分 理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法A.积分计算 1.⎰⎰+-=--=-C x x dx x x dx 22arcsin)2(4)4(22.⎰⎰⎰+=+=+Cx e xdx e xdx e dx x e x x xxtan tan 2sec )1(tan 2222223.设，求xx x f )1ln()(ln +=⎰dx x f )(解：⎰⎰+=dxe e dx xf xx )1ln()(⎰+++-=+-++=--C e e x dx ee e e xx xx xx)1ln()1(11()1ln(4.⎰⎰∞∞>-∞+=+-+-=112122ln 21411(lim |arctan 1arctan b b dx x x x x x dx xx πB.积分性质5.连续，,且，求并讨论在)(x f ⎰=1)()(dt xt f x ϕA xx f x =>-)(lim)(x ϕ)('x ϕ的连续性。