湍流应力可用脉动速度与之相关联。 得到湍流应力表达式，如下：
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湍流应力表达式


e xx
e yx
ux
2
ux uy
（6-26）
ux u z
e zx
e 以 yx ux uy 为例说明其含义，见图
A B A B
2）时均值的平均值等与原来的时均值
A A
3）脉动值的时均值等于零
A 0
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运算法则
4）两个瞬时值之积的时均值，等于两个时均值之积
与两个脉动值之积的时均值之和
AB A B AB
5）瞬时值导数的时均值等于时均值的导数值
特（Prandtl）模型作一简单介绍。
普朗特认为，在近壁处为边界层的层流流动，此外为
边界层的湍流运动，即所谓的
二层模型
。
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第六章 湍流流动 ghp
27
本节主要内容
通用速度分布方程 光滑管中的阻力系数
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第六章 湍流流动 ghp
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1.通用速度分布方程
可将管内湍流分为如下三个区域 层流内层
N-S方程。
强度量等均应视为瞬时值，经时均化后，对原方程进 行处理。

方程中的均时值仍保持层流方程的形式，而脉动值 处理后反映了湍流因素。
本章仅讨论不可压缩粘性流体的湍流流动。
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本节主要内容

1. 连续性方程的均时化
2. 运动方程的时均化

3. 普朗特混合长理论
l
d ux u l x dy
脉动值与时均值关系，推导见 P141。
uy C u x
（6-30）
两脉动速度成正比，推导见 P142
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第六章 湍流流动 ghp
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模型表述
综上所述可知
d ux u l x dy
uy C u x

e yx
x uy C l 2 d u x u dy
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第六章 湍流流动 ghp
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雷诺数与阻力系数关系曲线
上述关系代入（6-22），得到雷诺方程
Du x
Dt
e e e xx yy yy xx yx zx g x x y z x y z
经过时均化处理后多出 3项； 这些附加的应力项是由于流体质点涡团脉动所产生的
湍流应力(或称雷诺应力)，是湍流运动的特征。
8
时均速度讨论
2013-8-9 第六章 湍流流动 ghp
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第六章 湍流流动 ghp
9
5. 时均值的运算法则
设：
A、B 为湍流中,物理量的瞬时值
A、 B 为湍流中物理量的均时值
AHale Waihona Puke 、B 为湍流中物理量的脉动值2013-8-9
第六章 湍流流动 ghp
10
运算法则
1）瞬时值之和(差)的平均值等于各平均值之和(差)

在湍流理论中，对变量有多种统计平均方法 如时均法、体均法、质均法、概率平均法。 这里以变量速度为例，介绍时间平均法。
时均法的基本思想是：将湍流时的瞬时速度看作是由 时间统计平均速度和脉动速度组合而成，其表达式为：
瞬时速度
ux ux u x
可用毕托管测得
时均速度 脉动速度
可用热线仪、 激光仪测得
uy 方向相反
21
3．普朗特混合长理论
1）混合长定义 1925年，Prangdtl提出了混合长理论 。 涡团碰撞距离 Prangdtl 模仿分子运动学说中的分子运动平均自由程
（分子碰撞的平均距离），把涡团碰撞的平均距离 l’ 称为混合长（Mixing length）
l
其思想为：涡团在运动过程中保持特征性质直至与另
2
d ux Cl dy
2
2
式中 l 为混合长，相关系数 C 是接近 1 的值。 进一步写成

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e yx
d ux d ux u uy Cl x dy dy
2
第六章 湍流流动 ghp 24
模型表述
yx

e yx
u uy Cl 2 x
d ux d ux dy dy
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第六章 湍流流动 ghp
15
1. 连续性方程的均时化
已知，对于不可压缩流体，不论运动是否稳态，连续
性方程都是
u x u y u z 0 x y z
将上述瞬时速度拆成均时速度和脉动速度两项，
然后进行时均化处理：
( u x u ) ( u y uy ) ( u z u ) z x 0 x y z
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1．流型转变—雷诺实验
湍流流动现象，最早是由雷诺观察得到的。
1883年，他通过著名的雷诺实验，观察到当
Re>12000时，管内流动从层流转变为湍流流动。
此时，流线不再呈现有规律的层状流动，而
是在各个方向上呈现出杂乱无章地，以大小不 同的流速运动，同时发生强烈的混合，总的流 动方向还是指向下游。
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第六章 湍流流动 ghp
2
本章主要内容
一、湍流的基本概念
二、湍流的基本方程 三、光滑管内的湍流 四、粗糙管中的湍流（自学） 五、沿平板湍流边界层的近似解 六、沿平板混合边界层的近似解
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第六章 湍流流动 ghp
3
一、湍流的基本概念 1. 流型转变 2. 湍流原因 3. 湍流特点 4. 速度的表示方法 5. 时均值的运算法则 6. 湍流强度
0 y 5

u y
u 5 ln y 3.05
（6-50）
缓冲层
湍流核心层
5 y 30
（6-51）
30 y

u 2.5 ln y 5.5 （6-52）
适用于光滑管湍流通用速度分布方程的范围
ub d 4000 Re 3.2 106 v
一涡团碰撞，碰撞后即与另一涡团混合失去原有特性。 涡团的碰撞混合导致了流体各层之间附加的动量交换, 表现为雷诺应力；能量交换表现为湍流导热；质量交 换表现为涡流扩散。
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2）模型表述

e yx
ux uy
根据混合长概念，将时均值与脉动值联系起来，
1.75
代入上式，得到湍流时的阻力系数表达式
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光滑管内充分发展湍流时的阻力系数表达式
1 f
相当于
4.072lg Re

f 0.595

1

式中
2.035 lg Re 0.91


（6-73）
4f
达西阻力系数
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2．湍流原因
流体由层流转变为湍流，必需具备两项必要 条件： 1）旋涡的形成 2）形成的涡团脱离原来位置
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第六章 湍流流动 ghp
6
3. 湍流特点 随机性是湍流的主要特点。
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4. 瞬时速度表示方法 — 时均法
（6-22）
上述方程中
u x u x u x
ux ux
均时化处理后，得
t e ij ij ij
ij
t ij
e ij
总粘性 分子 湍流应力 应力 粘性应力
将上述关系代入（6-22），得到雷诺方程
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雷诺方程
A A x x
（对空间坐标求导）
A A t t
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（对时间求导）
第六章 湍流流动 ghp
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6. 湍流强度 I（intensity of turbulence）
在湍流研究中，常常需要比较两种流动中湍流脉动
的强弱，湍流脉动的激烈程度可以用脉动速度和时均
速度之比来衡量，称为湍动强度，即
湍流强度 = 脉动速度 / 时均速度 具体可采用均方根的算术平均值来表示湍流强度 对于x方向上的平行流而言，湍动强度的定义式为
I
1 2 ( u uy2 u 2 ) x z 3 ux
第六章 湍流流动 ghp 13
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二、湍流的基本方程

雷诺等人认为：湍流的真实速度场仍满足C.E.方程和 在此前提下，第三章导出的方程在运用于湍流时，各
模仿层流时的牛顿粘性定律（分子粘性应力）
dux dy
湍流脉动造成的应力，写成

式中
e yx
d ux e dy
2
(6-32)
涡流粘度
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d ux e l dy
第六章 湍流流动 ghp
(6-33)
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说明
值得注意的是粘性系数
是分子的运动特性，与物体
性质、温度、压力等有关而与流体是否运动无关，是 物性常数；
时均化处理后的连续性方程与层流方程形式上相同。
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2. 运动方程的时均化 —— 雷诺方程