第一章1．用消元法解下列线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.5432,9753,432321321321x x x x x x x x x解 由原方程组得同解方程组12323234,23,x x x x x ++=⎧⎨+=⎩得方程组的解为13232,2 3.x x x x =-⎧⎨=-+⎩令3x c =，得方程组的通解为c x c x c x =+-=-=321,32,2，其中c 为任意常数． 2．用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵：（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--324423211123．解 1102232111232551232041050124442300000000r r ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-−−→--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭，得 行阶梯形：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000510402321（不唯一）；行最简形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000045251021201 3．用初等行变换解下列线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++.3,1142,53332321321x x x x x x x x解 2100313357214110109011320019r B ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭M M M M M M ， 得方程组的解为920,97,32321=-==x x x ．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++-.2222,2562,134432143214321x x x x x x x x x x x x解 114311143121652032101222200001r B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M M M M M M ， 得方程组无解．第二章1.（2）22x y x y ．解 原式()xy y x =-．（2）0100002000010n n-L L LL L L L L L． 2.解 原式1100020(1)001n n n +=-=-LL M M M L!)1(1n n +-3.（2）1111 2222 3333 4444------．解原式11110444192 00660008==．（5）121111100100100naaaLLLM M M L ML，其中0,1,2,,ia i n≠=L．解原式11121211000100100100iini ir rai nnaaaa=-≤≤-==∑LLLM M M L ML∑∏==-niniiiaa11)11(4．利用行列式展开定理，计算下列行列式：（1）1214 0121 1013 0131-．解原式02012010010121321213217 1013131311310131--==-=-==---．（3）12310001 0000 0000 0000 1000nnaaaaa-LLLM M M M MLL．解 原式122131100010000000(1)0000000n n n n a a a a a a a +--=-+L L L L L M M M M M M M LL2311(1)1210000(1)(1)00n n n n a a a a a a ++--=--+L L L M M M L23112n n a a a a a a -=-+L L 2311(1)n n a a a a a -=-L ．7．设2142112531335111D =-，试求14243444A +A +A +A 和11121314M +M M M ++．解 14243444A +A +A +A 0=；111213141112131411111125+31335111M M M M A A A A --++=-+-=- 010*******2134652422422842142626206206120---==-=-=-=--． 8．利用克拉默法则解下列线性方程组：（1）12341234123412345,242,2352,32110.x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解 经计算，得1234142,142,284,426,142D D D D D =-=-=-=-=，所以方程组的解为1,3,2,14321-====x x x x ．9．试问λ取何值时，齐次线性方程组123123123230,3470,20x x x x x x x x x λ-+=⎧⎪-+=⎨⎪-++=⎩有非零解．解 方程组有非零解，则0D =．又2133475(3)12D λλ-=-=-+-， 所以3-=λ．第三章2．设矩阵112123111,122211031A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．（1）计算2A B +； （2）若X 满足32A X B +=，求X ．解 （1）3472100411A B ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭； （2）11023577695X B A -⎛⎫ ⎪=-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭．3．设有3阶方阵111222333a c d A a c d a c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111222333b c d B b c d b c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且1A =，2=B ，求2A B +． 解 1111222233332332233233a b c d A B a b c d a b c d ++=++1111112222223333339(2)9(2)45a c d b c d a c d b c d A B a c d b c d --=+--=+=--． 4（5）1020020100100031003⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．解 原式3E =．（6）()111213112312222321323333a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．解 原式222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++．5．已知矩阵103021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100021301B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．求： （1）AB 与BA ； （2）))((B A B A -+与22B A -.解 （1）1003343301AB ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，1030433010BA ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭； （2）906()()600609A B A B -⎛⎫ ⎪+-=- ⎪ ⎪-⎝⎭，22006300600A B ⎛⎫⎪-=- ⎪⎪-⎝⎭．8．已知矩阵()123α=，11123β⎛⎫=⎪⎝⎭，令βαTA =，求n A ，其中n 为正整数． 解 111()()()3()nTT n T n T n T A αβαββααβαβ---=== 111123232133312n -⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-------11112113233323323233n n n n n n n n n ．9．若A 为n 阶对称矩阵，P 为n 阶矩阵，证明TP AP 为对称矩阵． 证 因为()()T A ATTTTT TT P AP P A P P AP ===，所以T P AP 为对称矩阵．10.（2）100210331A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．解 10A =≠，又*100210331A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以1*1A A A -==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--133012001． 14．设n 阶方阵A 满足23A A O -=，证明2A E -可逆，并求()12A E --．证 由23A A O -=，得(2)()2A E A E E --=，即(2)2A EA E E --=， 所以2A E -可逆，且()12A E --=2E A -．16．已知A 为三阶方阵，且2A =-，求：（3）*112A A --． （3）*1111115222A A A A A A -----=-=-，有 原式13551()22A A-=-=-=16125． 20．利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵：（1）130120005⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．解 将矩阵进行如下分块：12130120005A O A O A ⎛⎫⎪-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭M M L L L L M ， 则11112A O A OA ---⎛⎫=⎪⎝⎭．又()1111122313155,51211555A A ----⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以 1A -=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-51000515105352．21．设矩阵1100010000120021A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，利用分块矩阵计算4A ．解 将矩阵进行如下分块：1211000100(,)00120021A diag A A ⎛⎫⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M L L LL L M M ，则44412(,)A diag A A =．又4412144140,014041A A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以414000100004140004041A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 22．设矩阵2501300002100122A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，利用分块矩阵计算2012A ．解 将矩阵进行如下分块：1225001300(,)002100122A diag A A ⎛⎫⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M L L LL L M M ，则121(8)8A A A =⋅=⨯-=-，所以2012201220128AA==．24.（2）122212221⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．解 ()122100999122100212212010010999221001221001999r A E ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪=-−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭M M M M M M ，所以A 可逆，且1122999212999221999A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭． 25．利用矩阵的初等行变换解下列矩阵方程：（1）12313032410272101078X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．解 ()12313010064532410270102122101078001333r E X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ，所以645212333X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 26.（2）213244251721182--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．解 21324213244251700151()22118200000r A R A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-−−→-⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 29．设A 是43⨯矩阵，且A 的秩为2，而101111123B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪---⎝⎭，求()R AB ．解 20B =≠，则()()2R AB R A ==．33．试问λ取何值时，下列非齐次线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解．（1）123123123(1)1,(1),(1) 1.x x x x x x x x x λλλλλ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=--⎩解 方程组的系数行列式2111111(3)111A λλλλλ+=+=++．当0A ≠，即0≠λ且3-≠λ时，方程组有唯一解．当0=λ时，()111111111110000111110000r B A β⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．因为()1()2R A R B =≠=，所以方程组无解．当3-=λ时，()211111221213033511220000r B A β--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．因为()()23R A R B ==<，所以方程组有无穷多解．第四章2．求解下列向量方程：（1）βα=+X 3，其中TT(1,0,1),(1,1,1)αβ==-．解 11()(0,1,2)33T X βα=-=-． 4.（3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21011α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=42112α ，32310α⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 解 ()123112112013013,,121001240000r ααα--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪ ⎪=−−→⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 因为()123,,3R ααα=，所以该向量组线性无关．（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100,0121,3021,03214321αααα．解 12341110111022200301(,,,)3011001003010000r αααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因为1234(,,,)34R αααα=<，所以该向量组线性相关． 7．若向量组321,,βββ由向量组321,,ααα线性表示为112321233123,,.βαααβαααβααα=-+⎧⎪=+-⎨⎪=-++⎩ 试将向量组321,,ααα由向量组321,,βββ表示．解 由112321233123,,βαααβαααβααα=-+⎧⎪=+-⎨⎪=-++⎩解得11222331311,2211,2211.22αββαββαββ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩11．求下列各向量组的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示．（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131,020,011321ααα．解 123101100(,,)123010001001r ααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以3),,(321=αααR ，本身为一个极大无关组；（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2202,7431,6514,31214321αααα．解 12341121014129921305401(,,,)99154200036720000r αααα⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎪⎪--⎪⎪-=−−→ ⎪⎪-- ⎪⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 所以2),,,(4321=ααααR ，21,αα为一个极大无关组，且21395911ααα+-=，2149492ααα--=． （3）123410321301,,,,217542146αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭51120α⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 解 123451321103011301101101(,,,,)217520001142146000000r ααααα-⎛⎫⎛⎫⎪⎪---⎪ ⎪=−−→⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以3),,,,(54321=αααααR ，421,,ααα为一个极大无关组，且2133ααα+=，4215αααα+--=．14．设A 为n m ⨯矩阵，证明：O A =当且仅当0)(=A R ．证 必要性显然，下证充分性：()0R A A O =⇒=．设α为A 的任一列向量，则()()0R R A α≤=，所以()00R αα=⇒=．由α的任意性知O A =．19. （2）123412341240,20,30.x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪++=⎩解 由11002111131121011231010000r A ⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，得132341,23.2x x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩令3420,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得方程组的一个基础解系1(1,3,2,0)T ξ=-，T)1,0,1,0(2-=ξ，通解为2211ξξc c X +=，其中21,c c 为任意常数．20.（2）12345123452345123451,3235, 2262,54337.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=-⎩解 方程组的增广矩阵()111111321135012262543317B A β-⎛⎫ ⎪-- ⎪== ⎪⎪--⎝⎭M M M M 101153012262000000000000r ----⎛⎫⎪⎪−−→⎪⎪⎝⎭M M M M ，因为()()25R A R B ==<，所以方程组有无穷多解，且1345234553,226 2.x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩ 令314253,,x c x c x c ===，得通解为123(3,2,0,0,0)(1,2,1,0,0)(1,2,0,1,0)(5,6,0,0,1)T T T T X c c c =-+-+-+-其中123,,c c c 为任意常数．第五章1. (5)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----020212022． 解 A 的特征多项式220212(2)(1)(4)02A E λλλλλλλ---=---=-+----， 所以A 的特征值为21-=λ，12=λ，43=λ．当21-=λ时，解特征方程组(2)0A E X +=．由11042022320110220002r A E ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪+=−------−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，得13231,2.x x x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩令32x =，得属于特征值21-=λ的线性无关的特征向量为1(1,2,2)T ξ=，全部特征向量为111,0k k ξ≠．当12=λ时，解特征方程组()0A E X -=．由1011201202012021000r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎝⎭-⎪⎝⎭， 得1323,1.2x x x x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩令32x =，得属于特征值12=λ的线性无关的特征向量为2(2,1,2)T ξ=--，全部特征向量为222,0k k ξ≠．当43=λ时，解特征方程组(4)0A E X -=．由2201022320120240400r A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭------⎭--⎝，得13232,2.x x x x =⎧⎨=-⎩令31x =，得属于特征值43=λ的线性无关的特征向量为3(2,2,1)Tξ=-，全部特征向量为333,0k k ξ≠．（6）----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪100111302．解 A 的特征多项式21001()(111232)A E λλλλλλ-------=+--=，所以A 的特征值为2,132,1=-=λλ．当12,1-=λ时，解特征方程组()0A E X +=．由101000000101303000r A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭--⎪，得13.x x =令2310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值12,1-=λ的线性无关的特征向量为12(0,1,0),(1,0,1)T T ξξ==，全部特征向量为112212,,k k k k ξξ+不全为0．当23=λ时，解特征方程组(2)0A E X -=．由10030011310133000002r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭----， 得1230,1.3x x x =⎧⎪⎨=-⎪⎩令33x =，得属于特征值23=λ的线性无关的特征向量为3(0,1,3)T ξ=-，全部特征向量为333,0k k ξ≠．5．已知3阶矩阵A 的特征值为3,2,1，求A A A 7523+-及A 的伴随矩阵*A 的特征值．解 令325()7x x x x ϕ-+=，则A A A 7523+-的特征值为(1)3,(2)2,(3)3ϕϕϕ===．又1236A =⨯⨯=，则*A 特征值为6666,3,2123===． 9．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=533242111A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=20002000λB ，且A 与B 相似，求常数λ． 解 显然B 的特征值为,2,2λ．A 与B 相似，则A 的特征值为,2,2λ．由14522λ++=++，解得6=λ．10．已知矩阵A x =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪20000101与矩阵B y =-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪20000001相似，求常数x 与y ．解 A 与B 相似，则202(1)1x y x y ++=++-⇒=-． （1） 又2A =-，由A B =，得22(1)1y y -=⋅⋅-⇒=，代入（1）式，得0x =． 所以1,0==y x ．11．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=12012001a A ．问a 为何值时，矩阵A 可相似对角化．解 显然A 的特征值为1,231,1λλ==-．对1,21λ=，A 可相似对角化()321R A E ⇔-=-=．由2002001000000200r a A E a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ -⎭⎝-⎭-⎪⎝，得0=a ．13.（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1324121019106127．解 A 的特征多项式132(1)7126112610191001910122413143(1)21c c A E λλλλλλλλλλ-----===----------+--，则A 的特征值为1,231,1λλ==-．当1,21λ=时，解方程组()0A E X -=．由6126102010122412121000000r A E -⎛⎫-⎛⎫⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎝-⎭⎭-⎪，得()1R A E -=，所以A 与对角矩阵相似，且1232x x x =-．令2310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值1,21λ=的线性无关的特征向量为12(2,1,0),(1,0,1)T Tp p ==-．当31λ=-时，解方程组()0A E X +=．由812610181012241411025016000r A E ⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪+=−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎭---⎪ ⎪⎝，得13231,25.6x x x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令36x =，得属于特征值31λ=-的线性无关的特征向量为3(3,5,6)T p =． 令123213105016(,,)P p p p -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=，则1P AP -=Λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100010001．（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----163053064．解 A 的特征多项式24603503(1)(2)61A E λλλλλλ--------==--+，则A 的特征值为1,231,2λλ==-．当1,21λ=时，解方程组()0A E X -=．由360360312000000600r A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎭-⎪⎝⎝⎭，得()1R A E -=，所以A 与对角矩阵相似，且122x x =-．令2310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得属于特征值1,21λ=的线性无关的特征向量为12(2,1,0),(0,0,1)T Tp p =-=．当32λ=-时，解方程组(2)0A E X +=．由6603310301201000631r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=−−→- ⎪ ⎪ ⎪--- ⎭-⎪⎝⎝⎭，得1323,.x x x x =-⎧⎨=⎩令31x =，得属于特征值31λ=-的线性无关的特征向量为3(1,1,1)Tp =-．令12320110101,1(,)P p p p --⎛⎫ =⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1P AP -=Λ15．设3阶方阵A 有特征值9,1,0321=-==λλλ，对应特征向量依次为T T T )2,1,1(,)0,1,1(,)1,1,1(321=-=--=ξξξ，求A ．解 A 有3个不同的特征值，则A 能相似对角化．令123111()111102,,P ξξξ--⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，则1019P AP -⎛⎫⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭，有1A P P -=Λ．又122213306112P ---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=633312321A21．试求一个正交矩阵Q ，使AQ Q 1-为对角阵：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A ． 解 A 的特征多项式(2)(1)(4)A E λλλλ-=-+--，则A 的特征值为1232,1,4λλλ=-==．属于特征值12λ=-的线性无关的特征向量为1(1,2,2)Tα=；单位化，得1122(,,)333T β=．属于特征值21λ=的线性无关的特征向量为2(2,1,2)Tα=-；单位化，得2212(,,)333T β=-．属于特征值34λ=的线性无关的特征向量为3(2,2,1)Tα=-；单位化，得3221(,,)333T β=-．令正交矩阵1231221(,,)2123221Q βββ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，则 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-4000100021AQ Q AQ Q T ．（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A ．解 A 的特征多项式2(1)(10)A E λλλ-=--，则A 的特征值为1,231,10λλ==．属于特征值1,21λ=的线性无关的特征向量为12(2,1,0),(2,0,1)T Tαα=-=；正交化，得121(2,1,0),(2,4,5)5TT ββ=-=；单位化，得12(,T Tγγ==． 属于特征值310λ=的线性无关的特征向量为3(1,2,2)Tα=--；单位化，得3122(,,)333T γ=--．令正交矩阵123132(,,)3203Q γγγ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-10000100011AQ Q AQ Q T22．设3阶实对称矩阵A 的特征值为6、3、3，与特征值6对应的特征向量为T)1,1,1(1=ξ，求与特征值3对应的特征向量．解 设123(,,)TX x x x =为属于特征值3的特向量，有1[,]0X ξ=，即0321=++x x x ，其基础解系为T)0,1,1(2-=ξT )1,0,1(3-=ξ．所以属于特征值3的特征向量为3322ξξk k +，2k 、3k 不全为0．第五章（B ）二、计算题：1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100001010A ，AP P B 1-=，其中P 为三阶可逆矩阵，求220042A B -． 解 24100010,001A A E -⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭．又P A P B 200412004-=14501()P A P -=E EP P ==-1,所以20042230022030001BA E A ⎛⎫⎪-=-= ⎪ ⎪-⎝⎭． 3. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=122212221A ． （1）求A 的特征值；（2）利用(1)中结果求1-+A E 的特征值，其中E 为三阶单位矩阵． 解 （1）A 的特征多项式2(1)(5)A E λλλ-=--+，得A 的特征值为1,231,5λλ==-．（2）令1()1g x x=+，得1-+A E 的特征值为 1,234(1)2,(5)5g g μμ===-=．21 / 21 第六章1．写出下列二次型的矩阵．（1）222123123121323(,,)22454f x x x x x x x x x x x x =++++-． 解 51222225222A ⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭．2．已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x ax x x x x x x =++-+-的秩为2，求a ．解 二次型的矩阵51315315302133003r A a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．由()2R A =，得30a -=，所以3a =．。