3.4 复合泊松过程
• 定义3.5设{N(t), t0}是强度的泊松过程， {Yk,k=1,2,}是一列独立同分布随机变 量，且与{N(t), t0}独立，令
X (t )
N (t ) k 1
Y , t 0k来自则称为复合泊松过程。 例 设N(t)是在[0, t]内来到某商店的顾客 数， Yk是第 k 个顾客的花费，则 N (t ) 是 X (t ) Yk [0, t]内的营业额。
第三章 泊松过程
复习
一、 0－1分布 二、二项分布
X P
1
p 1 p
0
EX p , DX p( 1 p )
k k P( X k ) Cn p ( 1 p )n k
EX np , DX np( 1 p ). 三、Poisson分布( 刻划稀有事件概率 ) k! k 0 ,1,2 , , EX , DX P( X k ) e
3.1 泊松过程的定义
• 定义3.2：称计数过程{X(t)，t 0 }是泊 松过程，如果X(t)满足 (1) X(0)=0; (2) X(t)是独立增量过程; (3)在任一长度为t的区间中，事件A发生的 次数服从参数t> 0的泊松分布，即对任 意s, t 0，有 n t ( t ) P X (t s ) X ( s ) n e , n! n 0,1, 2,
P X(t h) X(t ) 1 h o(h) P X(t h) X(t ) 2 o(h)
(参数>0)
3.2 泊松过程的性质
• 一、数字特征 设{X(t), t 0}是参数为的泊松过程， 对任意t, s[0, +)，若s < t ，则有 E[ X (t ) X ( s)] D[ X (t ) X ( s)] (t s) m X (t ) E[ X (t )] E[ X (t ) X (0)] t
3.2 泊松过程的性质
等待时间Wn与时间间隔Tn均为随机变量
T1 T2 T3 Tn t
0
W1
W2
W3
Wn-1
Wn
• 时间间隔Tn的分布 定理3.2设{X(t), t0}是参数为的泊松过程， {Tn,n1}是相应第n-1次事件A发生到第n次事 件A发生的时间间隔序列，则随机变量 Tn,n=1,2…独立同服从均值为1/的指数分布
3.1 泊松过程的定义
☆注： (1)泊松过程是平稳增量过程 E[X(t )] (2)由E[X(t)]=t ,知
t
故表示过程的强度 例 在(0, t]内接到服务台咨询电话的次 数X(t)，在(0, t]内到某火车站售票处购 买车票的旅客数X(t)等
3.1 泊松过程的定义
• 定义3.3：称计数过程{X(t)，t 0 }是泊 松过程，如果X(t)满足 (1) X(0)=0； (2) X(t)是平稳、独立增量过程； (3) X(t)满足下列两式
t (t ) n 1 ,t 0 e fW n ( t ) (n 1)! 0 , t 0
3.3 非齐次泊松过程
3.3 非齐次泊松过程
• 定义3.4 称计数过程{X(t), t 0}为具有跳跃强度函数(t) 的非齐次泊松过程，如果满足 (1)X(0)=0; (2) X(t)是独立增量过程; (3) P X (t h) X (t ) 1 (t )h o(h)
3.1 泊松过程的定义
• 独立增量计数过程 对于t1< t2 < < tn，N(t2) - N(t1), N(t3) -N(t2), , N(tn)-N(tn-1) 独立 • 平稳增量计数过程 在(t, t+s]内(s>0)，事件A发生的次数 N(t+s) -N(t)仅与时间间隔s有关，而与 初始时刻t无关
(t ) D[ X (t )] D[ X (t ) X (0)] t
2 X
3.2 泊松过程的性质
RX ( s, t ) E[ X ( s ) X (t )] E[ X ( s )( X (t ) X ( s ) X ( s ))] E[ X ( s )( X (t ) X ( s ))] E[( X ( s ))2 ] E[( X ( s ))]E[( X (t ) X ( s ))] D[ X ( s )] （E[ X ( s )] ）
E[ X (9) X (7)] m X (9) m X (7)
9 9 7 7
( s)ds 1400 ds 2800
12时至14时有2000人来站乘车的概率为
P{ X (9) X (7) 2000 } e 2800 (2800 ) 2000 2000 !


k
,
四、Poisson过程 (1)放射性物质在[0，t]中放出的α－粒子的数目. (2)某服务台在[0，t]中到达的顾客数. (3)某建筑物指定面积上出现的点负荷数目.
3.1 泊松过程的定义
• 定义3.1随机过程{N(t)，t 0 }是计数过 程，如果 N(t) 表示到时刻 t为止已发生 的事件A的总数，且N(t)满足条件 (1) N(t) 0 ; (2) N(t)取整数; (3)若s < t ，则N(s) N(t); (4)当s < t时，N(t) - N(s)等于区间(s, t]中 发生事件A的次数。
3.3 非齐次泊松过程
例 某路公共汽车从早晨5时到晚上9时 有车发出，乘客流量如下：5时按平均 乘客为200人/小时计算；5时至8时乘客 平均到达率线性增加，8时到达率为 1400人/小时；8时至18时保持平均到达 率不变；18时到21时到达率线性下降， 到21时为200人/小时，假定乘客数在不 重叠的区间内是相互独立的，求12时至 14时有2000人乘车的概率，并求这两个 小时内来站乘车人数的数学期望。
P X(t h) X(t ) 1 h o(h) P X(t h) X(t ) 2 o(h)
(参数>0)
定理3.5 • 设{X(t), t 0}为具有均值函数 t m X (t ) ( s)ds 0 的非齐次泊松过程，则有
P{ X (t s) X (t ) n}
3.2 泊松过程的性质
•二、泊松过程的时间间隔与等待时间的分布 设{X(t), t0}是参数为的泊松过程， X(t)表示到t时刻为止事件A发生的次数， Wn表示第n次事件A发生的时间(n 1)， 也称为第n次事件A的等待时间, 或到达时间, Tn表示第n-1次事件A发生到第n次事件A发生 的时间间隔。
3.3 非齐次泊松过程
[m X (t s) m X (t )]n exp [m X (t s) m X (t )] n! [m X (t )]n 或 P{ X (t ) n} exp m X (t ) n! (n 0)
(证明方法与齐次泊松过程类似见教材P49)
3.3 非齐次泊松过程
解 设t=0为早晨5时，t=16为晚上9时， • 则
200 400t ,0 t 3 (t ) 1400 , 3 t 13 1400 400(t 13),13 t 16
3.3 非齐次泊松过程
解 12时至14时为t[7,9] 在[0,t]内到达的乘车人数X(t)服从参数为 (t)的非齐次泊松过程 12时至14时乘车人数的数学期望为
k 1
应 用 举 例
设保险公司的人寿保险单持有者在ti时刻死亡 获得的保险金为Di,诸Di相互独立，均服从[10000，20000] 上的均匀分布.若在[0,t]内死亡的人数N(t)，t 0为强度为 5 的Poisson过程，并与{Dn}独立.试求保险公司在 [0,t]内将要支付的总保险金额 X (t ) 的均值与方差.
3.2 泊松过程的性质
时间间隔Tn的分布为
1 e t , t 0 FTn (t ) PTn t 0 , t 0 e t , t 0 fTn (t ) 0 , t 0
概率密度为
3.2 泊松过程的性质
•等待时间Wn的分布 定理3.3设{X(t), t 0}是参数为的泊松过程， {Wn, n 1}是相应等待时间序列， 则Wn服从参数为n与的分布， 概率密度为
PX (t h) X (t ) 2 o(h)
☆可以证明 m X (t ) 0 ( s)ds 并称非齐次泊松过程的均值函数。

t
3.1 泊松过程的定义
• 定义3.3：称计数过程{X(t)，t 0 }是泊 松过程，如果X(t)满足 (1) X(0)=0； (2) X(t)是平稳、独立增量过程； (3) X(t)满足下列两式
2
s (t s ) s (s ) 2 s (t 1)
3.2 泊松过程的性质
BX ( s, t ) RX ( s, t ) m X ( s)m X (t ) s 若t s, 则BX ( s, t ) t , 从而 BX ( s, t ) min(s, t )