2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷（一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合{|12}A x x =+<，集合1{|()3xB y y ==，}x R ∈，则(AB =)A ．(1,3)-B ．(0,3)C ．[0，3)D ．[1-，3)2．（5分）设i 是虚数单位，复数20211z i =，复数2|43|43i z i-=+，则12z z +在复平面上对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知32ln α=，13e β-=，13ln γ=，则α，β，γ的大小关系是( )A ．αβγ<<B ．βαγ<<C ．γβα<<D ．βγα<<4．（5分）如图，为一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A 52π+ B (51)4π++ C (51)2π++ D 54π+ 5．（5分）已知α，β是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l α⊥的是()A ．l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n α⊂B ．l m ⊥，//m αC ．αβ⊥，//l βD ．//l m ，m α⊥6．（5分）变量x，y满足约束条件3040x yx yx y a+-⎧⎪-⎨⎪-+⎩，若目标函数2z x y=+的最大值为12，则实数(a=)A．12B．12-C．4D．4-7．（5分）下列四个叙述中，错误的是()A．“p q∨为真”是“p q∧为真”的必要不充分条件B．命题p：“x R∀∈且0x≠，1xx+的值域是(-∞，2][2-，)+∞”，则p⌝：“0x R∃∈且x≠，使得1(2,2)xx+∈-”C．已知a，b R∈且0ab>，原命题“若a b>，则11a b<”的逆命题是“若11a b<，则a b>”D．已知函数2()f x x=，函数1()()2xg x m=-，若对任意1[1x∈-，3]，存在2[0x∈，1]，使得12()()f xg x成立，则m的范围是[1，)+∞8．（5分）已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i行第j列的数记为,i ja，如3,17a=，4,315a=，则,2021i ja=时，1102(3)log(19)(ji--+=)A．54B．18C．9D．6二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．（5分）已知三棱柱111ABC A B C-的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直，其外接球的表面积为16π，下列说法正确的是()A ．三棱柱111ABC ABC -B ．三棱柱111ABC A B C -的表面积是18C ．直线1AB 与直线11A CD ．点A 到平面1A BC 的距离是10．（5分）ABC ∆中，D 为AC 上一点且满足13AD DC =，若P 为BD 上一点，且满足AP AB AC λμ=+，λ，μ为正实数，则下列结论正确的是()A ．λμ的最小值为16B ．λμ的最大值为116C ．114λμ+的最大值为16 D ．114λμ+的最小值为4 11．（5分）已知由样本数据1(x ，1)(1y i =，2，3，⋯，8)组成的一个样本，得到回归直线方程为ˆ20.4yx =-且2x =，去除两个歧义点(2,7)-和(2,7)-后，得到新的回归直线的斜率为3．则下列说法正确的是()A ．相关变量x ，y 具有正相关关系B ．去除歧义点后的回归直线方程为ˆ3 3.2yx =-C ．去除歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变小D ．去除歧义点后，样本(4,8.9)的残差为0.1（附11:)i e y y =- 12．（5分）已知函数()3|sin |4|cos |f x x x =+，则( )A ．π-是函数()f x 的一个周期B ．直线()2k x k Z π=∈为函数()f x 的对称轴方程C ．函数()f x 的最大值是5D ．()4f x = 在[0，]π有三个解三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）二项式8(x -展开式中的常数项是 （用数字作答）．14．（5分）若方程222450x y xy kx y k λλ++++++=表示圆，则k 的取值范围为 ．15．（5分）ABC ∆中，内角A ，B ，C 对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos (tan tan )cos tan cos tan B C B C B B C C +=+，则cos A 的最小值是 ．16．（5分）若以函数()y f x =的图像上任意一点1(P x ，1)y 为切点作切线，()y f x =图像上总存在异于P 点的点2(Q x ，2)y ，使得以Q 为切点的直线1l 与21平行，则称函数()f x 为“美函数”，下面四个函数中是“美函数”的是 ． ①32y x x =-； ②13y x x=+； ③cos y x =；④2(2)y x lnx =-+．四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在①1236a a a =+，②41232a a a a =++，③3242(2)a a a +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中．问题：正项等比数列{}n a 的公比为q ，满足1n n a a +<，23428a a a ++=，_____？ （1）求数列{}n a 的通项公式：（2）若2log n n n b a a =-，n S 为数列{}n b 前n 项和，若对任意正整数n 恒有1()0n n S n m a +++>成立，求m 的取值范围．18．（12分）已知函数()4sin()cos()3f x x x ππ=-- （1）求()f x 的对称中心坐标：（2）若()320f x m -+有解，求m 的最小值．19．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，AB AC ⊥，AB AC ==PB PC ==，点M 是PA 的中点，点D 是AC 的中点，点N 在PB 上且2PN NB =． （1）证明：//BD 平面CMN ；（2）求直线CN 与平面ABC 所成角的正切值．20．（12分）为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某中学数学教师对新入学的180名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于12小时的有76人，统计成绩后，得到如下的22⨯列联表：学生本学期检测数学标准分数大于等于120分学生本学期检测数学标准分数不足120分合计周做题时间不少于12小时6076周做题时间不足12小时64合计180（1）请完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（2）)（ⅰ）若将频率视为概率，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，求这些人中周自主做数学题时间不少于12小时的人数的期望．（ⅱ）通过调查问卷发现，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，这12人周自主做数学题时间的情况分三类，A类：周自主做数学题时间大于等于16小时的有4人：B类：周自主做数学题时间大于等于12小时小于16小时的有5人：C类：周自主做数学题时间不足12小时的有3人．若从这随机抽出的12人中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名同学中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的数学期望．附：参考公式和数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=+++++，n a b c d++++．附表：分）已知椭圆，1(F ，0)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点0(P x ，000)(0)y x y ≠，点P 在椭圆C 上，过点P 作椭圆C 的切线l ，斜率为0k ，1PF ，2PF 的斜率分别为1k ，2k ，则12012k k k k k +是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．（3）设点0(P x ，00)(0)y y ≠，点P 在椭圆C 上，点(,0)Q t 在12F PF ∠的角分线上，求t 的取值范围．22．（12分）已知函数2()f x lnx tx =+，函数()(21)g x t x =+，t R ∈．（1）1t =-时，讨论函数()f x 的单调性：（2）令()()()h x f x g x =-，若()h x 在1x =处取得极值，且在(0，]e 上的最大值为1，求t 的值．2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷（一模）参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合{2}A x =，集合1{|()3xB y y ==，}x R ∈，则(AB =)A ．(1,3)-B ．(0,3)C ．[0，3)D ．[1-，3)【解答】解：{|13}A x x =-<，{|0}B y y =>，(0,3)AB ∴=．故选：B ．2．（5分）设i 是虚数单位，复数20211z i =，复数2|43|43i z i-=+，则12z z +在复平面上对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：因为复数20211z ii ==，2|43|55(43)4343432555i i z i i i --====-++， 所以124255z z i +=+， 故12z z +在复平面上对应的点为42(,)55，在第一想象． 故选：A ．3．（5分）已知32ln α=，13e β-=，13ln γ=，则α，β，γ的大小关系是( )A ．αβγ<<B ．βαγ<<C ．γβα<<D ．βγα<<【解答】解：31ln lne >=，1α∴>，10301e e -<<=，01β∴<<，1103ln ln <=，0γ∴<， γβα∴<<，故选：C ．4．（5分）如图，为一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A ．52π+ B ．(51)4π++ C ．(51)2π++ D ．54π+ 【解答】解：由三视图知，该几何体是圆锥体的14部分，画出图形，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的表面积是：()14AOC BOC S S S S S ∆∆=+++侧面底面圆 222111(1121)1212422ππ=⨯⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯ (51)2π+=+．故选：C ．5．（5分）已知α，β是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l α⊥的是()A ．l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n α⊂B ．l m ⊥，//m αC ．αβ⊥，//l βD ．//l m ，m α⊥【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，知： 对于A ，l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n α⊂，则l 与α相交、平行或l α⊂，故A 错误；对于B ,l m ⊥，//m α，则l 与α相交、平行或l α⊂，故B 错误； 对于C ，αβ⊥，//l β，则l 与α相交、平行或l α⊂，故C 错误； 对于D ，//l m ，m α⊥，则由线面垂直的判定定理得l α⊥，故D 正确． 故选：D ．6．（5分）变量x ，y 满足约束条件30040x y x y x y a +-⎧⎪-⎨⎪-+⎩，若目标函数2z x y =+的最大值为12，则实数(a = )A ．12B ．12-C ．4D ．4-【解答】解：联立030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，可得两直线交点为33(,)22，代入直线40x y a -+=，解得92a =-，若92a >-，分析可得可行域为∅． 则92a -， 由约束条件作出可行域如图，联立040x y x y a -=⎧⎨-+=⎩，解得(3a A -，)3a -，由2z x y =+，得22x z y =-+，由图可得，当直线22x zy =-+过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为21233a a--=，即12a =-． 故选：B ．7．（5分）下列四个叙述中，错误的是()A．“p q∨为真”是“p q∧为真”的必要不充分条件B．命题p：“x R∀∈且0x≠，1xx+的值域是(-∞，2][2-，)+∞”，则p⌝：“0x R∃∈且x≠，使得1(2,2)xx+∈-”C．已知a，b R∈且0ab>，原命题“若a b>，则11a b<”的逆命题是“若11a b<，则a b>”D．已知函数2()f x x=，函数1()()2xg x m=-，若对任意1[1x∈-，3]，存在2[0x∈，1]，使得12()()f xg x成立，则m的范围是[1，)+∞【解答】解：对于A：当“p q∧为真”时，则“p q∨为真”，但是当“p q∨为真”时“p q∧不一定为真”，故“p q∨为真”是“p q∧为真”的必要不充分条件，故A正确；对于B：命题p：“x R∀∈且0x≠，1xx+的值域是(-∞，2][2-，)+∞”，则p⌝：“0x R∃∈且x≠，使得1(2,2)xx+∈-，故B正确；对于C：已知a，b R∈且0ab>，原命题“若a b>，则11a b<”的逆命题是“若11a b<，则a b>”故C正确；对于D：已知函数2()f x x=，函数1()()2xg x m=-，若对任意1[1x∈-，3]，存在2[0x∈，1]，使得12()()f xg x成立，即1()0()2min minf xg x m==-，则m的范围是1[2，)+∞，故D错误．故选：D．8．（5分）已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i行第j列的数记为,i ja，如3,17a=，4,315a=，则,2021i ja=时，1102(3)log(19)(ji--+=)A．54B．18C．9D．6【解答】解：奇数构成的数阵，令212021n-=，解得1011n=，故2021是数阵中的第1011个数，第1行到第i 行一共有(1)1232i i i ++++⋅⋅⋅+=个奇数， 则第1行到第44行末一共有990个奇数，第1行到第45行末一共有1035个数， 所以2021位于第45行，又第45行是从左到右依次递增，且共有45个奇数， 所以2021位于第45行，从左到右第21列， 所以45i =，21j =， 则121121010222(3)log (19)(3)(4519)(3)649654j i log log ---+=-⋅+=-=⨯=．故选：A ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。