F / 4 2 103 mm 134 mm
30 MPa 5493104 mm4
F 24.6 kN
因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制
[F] 19.2 kN
§6-3 梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件
Ⅰ、梁横截面上的切应力
分离体的平衡
横截面上切应力 分布规律的假设
横截面上弯曲切 应力的计算公式
二.工字形截面梁 1、腹板上的切应力
h
d
y
d
O
y b
O
' A*
y dA
FS
S
* z
Izd
S
* z
bd
2
h
d
d 2
h 2
d
2
y2
腹板与翼缘交界处
max
min
FS Izd
bd

h d
max O
中性轴处
max
FS
S
* z,m
ax
Izd
y
min
FS
bd
h
d
d
h
d
2
I z d 2
160 MPa 148 MPa
2
Ⅲ 梁的正应力强度条件
max 材料的许用弯曲正应力
中性轴为横截面对称轴的等直梁
M max
Wz
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
为充分发挥材料的强度，最合理的设计为
t,max
M max yt,max Iz
[
t]
c,max
M max yc,max Iz
Myc,max Iz
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d D)
b
截面 D
o
z Dd o
zh o
z
y
y
y
Iz
D4
64
D4 1 4
64
1 bh3 12
D3
Wz
32
D3 1 4
32
1 bh2 6
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 横力弯曲时： 1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲； 2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。 平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都 不再成立。
FA
F 4
20 y 20
FB
7 4
F
据此作出梁的弯矩图如下
F
q=F/b
A
b C bB
D
b
Fb/4
180 40 134 86
120 C
形心 z 20 y 20
M
m
ax
Fb 4
M
m
ax
Fb 2
Fb/2 发生在截面C 发生在截面B
2、计算最大拉、压正应力 Fb/4
120
180 40 134 86
Fb/2
注意到 M (x) y
Iz
而
M max
M max
C 形心 z
20 y 20
y1 y2
因此压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条 件则B、C截面都要考虑。
Fb/4
120
180 40 134 86
Fb/2
C 形心 z
考虑截面B ：
20 y 20
t,max
M B y2 Iz
F / 2 2 103 mm 86 mm
30 MPa 5493103 mm4
F 19.2 kN
c,max
M B y1 Iz
F
/
2
2103 mm 134
5493104 mm4
mm
90
MPa
F 73.8 kN
Fb/4
120
180 40 134 86
Fb/2
C 形心 z
考虑截面C：
20 y 20
t,max
M C y1 Iz
2 2
(2) 垂直于y 轴的切应力
FN*2
h
d d
d
O
y b
FN*1 1 1' d FS 1d d x
d F S
FN*2
FN*1
dM Iz
S
* z
1
FS
S
* z
I zd
1
1
FS
I zd
d
h 2
d
2
FS 2I z
h d
160
MPa
12.5
a
M maxya Iz
21 560
z
375106 N mm 560 21 mm
a
2
65586104 mm4
166
148 MPa
或根据正应力沿梁高的线性分布关系的 12.5
21 560
z
max 160 MPa
a
166
560 21
a
ya ymax
max
2 560
[ c]
yt,max [ t] yc,max [ c]
例 图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图。
钢的许用弯曲正应力[ ]=152 MPa 。试选择工字钢
的号码。
F
F
F=75kN
A
B
FA 2.5m 2.5m 2.5m 2.5m FB 10 m
281 375
单位： kN·m
解：1、支反力为 作弯矩图如上。
FA
FB
3 2
F
112.5
kN
M max 375 kN m
2、根据强度条件确定截面尺寸
M max
Wz
Wz
M max
375106 N mm 152 MPa
2460103
mm3
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
Wz 2447 cm3 2447 10 3 mm 3
与要求的Wz相差不到1%，可以选用。
FS
S
* z
Izb
FS 2I z
h2 4
y 2
(1) 沿截面高度按二次抛物
线规律变化；
(2) 同一横截面上的最大切应max z 力max在中性轴处( y=0 )；
max
O
(3)上下边缘处（y=±h/2)，
切应力为零。
y
max
FS h 2 8I z
8
FS h 2 bh3
12
3 FS 3FS 2 bh 2A
12.5
21 560
F
A
FA
5m
C
10m
M
B
z
FB
a
375 kN.m 166
Fl 解：1、作弯矩图如上， M max 4 375 kN m
2、查型钢表得
56号工字钢 I z 65586 cm4 Wz 2342 cm3
3、所求正应力为
max
M max Wz
375106 N mm 2342103 mm3
弹性力学的分析结果：
对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。
F
M (x)y
l
Iz
Fl 4
max
M (x) Wz
例 图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。
试求危险截面上的最大正应力max 和同一横截面上 翼缘与腹板交界处a点处的正应力a 。
例 图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面对
中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许用拉
应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试
求梁的许可荷载[F ] 。
120
180 40 134 86
F
q=F/b
A
b C bB
D
b
C 形心 z
FA
FB
解：1、梁的支反力为
第六章 弯曲应力
弯曲正应力计算公式
1 M
EI z E E y
My
Iz
中性轴 z 为横截面的对称轴时 b
h
z
z
y
y
max
My m a x Iz
M
Iz ymax
M Wz
称为弯曲截面系数
中性轴 z 不是横截面的对称轴时
yt，max yc，max
Oz y
t,max
Myt,max Iz
c,max