4
通信原理
2.随机过程的均值及相关函数 （时域） (1) 均值: E X (t) mX (t)
任何随机过程都可以看成是一个零均值随机 过程与一个确定函数的和。 X (t) X (t) mX (t)
(2) 相关函数:自相关函数 E X (t1)X (t2) RX (t1,t2) 互相关函数 E X (t1)Y (t2 ) RXY (t1,t2)

（2）自相关函数
RY (t1,t2 ) E[Y (t)Y (t )]

E[ X (t u)X (t v)h(u)h(v)dvdu]
RX ( u v)h(u)h(v)dvdu RY ( )
(6) 零均值随机过程和确定信号之和的功率谱密度为PX ( f ) Pm( f )
7
通返信回原目理录
3.2 平稳随机过程
1.定义 2.各态历经性（遍历性） 3.联合平稳 4.复平稳过程 5.零均值平稳过程通过滤波器 6.平稳序列 7.循环平稳过程
1.定义
（1）严平稳随机过程(狭义平稳)
如果对于任意n和t1, t2 , …,tn以及 有
通信原理
安建伟
北京科技大学通信工程系
第3章随机过程
3.1 随机过程的统计特性 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯过程 3.4 高斯白噪声 3.5 匹配滤波器
2
通信原理
引言
为什么研究随机过程？
– 通信中，信号、干扰、噪声等都是随机信号， 具有一定的统计规律性。
– 随机过程是随机信号的数学模型。
研究什么？
T 2T T
时间平均
1T
lim x(t)
x(t )dt
T 2T T
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通信原理
2
遍历随机过程（即时间平均代替统计平均）
宽 遍历
X(t)的均值和自相关均为遍历的
严 若X(t)的所有统计平均特性和其样 遍历 函数所有相应的时间平均特性相等
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通信原理
例3.2.1 已知X (t) cos(2 f0t )，其中 f0为常数，
RX
(t,t


)

2 2
cos(0
)
PX () F[RX ( )]

2 2
[
(

0
)


(

0
)]
（4）PX

2 R[0]
2
37
通返信回原目理录
3.4 高斯白噪声
噪声来源：人为噪声、自然噪声、内部噪声 噪声分类：确知噪声、随机噪声 随机噪声根据性质分为三种： ① 窄带噪声：主要是无线电干扰 ② 脉冲噪声：工业中的电火花、雷电等。 ③ 起伏噪声：一种连续波随机噪声，可认为是一
16
通信原理
4.复平稳过程
设X(t)，Y(t)联合平稳，则复随机过程 Z(t) X (t) jY(t) 为复平稳过程。
复平稳过程的自相关函数满足共轭对称性。 RZ ( ) E Z*(t)Z(t )
任何零均值复随机过程的实部和虚部是零 均值的实随机过程。
17
通信原理
px1, x2,..., xn,t1,t2,...tn
p(x1, x2,..., xn,t1 ,t2 ,tn ) 则称X(t)为严平稳随机过程
该定义说明，平稳随机过程是指其统计 特性不随时间的推移而变化。
（2）宽平稳随机过程
•若X(t)的数学期望 EX(t) mX为常数，且
自相关函数 RX (t1, t2 ) RX ( ) 只与t2 t1
有关，则称X(t)为宽平稳随机过程。
注意：
一个严平稳随机过程一定是广义平稳 随机过程，但反过来一般不成立。
通信系统中所遇到的信号及噪声，大 多数可视为平稳的随机过程。
以后讨论的随机过程除特殊说明外， 均假定是平稳的，且均指广义平稳随 机过程，简称平稳过程。
22
通信原理
X(t)的平均自相关函数
R X
(t , t


)

1 T
T /2 T /2
RX
(t , t


)dt

RX
(
)
平均功率谱密度
pX ( f )

RX
(
)e
j
2
f

d
通信原理
补充 在通信系统中，有三种常见的
平稳随机过程：
① 以白噪声为代表的高斯过程； ② 以窄带噪声包络为代表的瑞利分布； ③ 以正弦波加窄带高斯过程的包络为代表
R(t
,
t


)


2 A
2
a2
cos
0
PX
(
f
)

(
2 A
4
a2 ) [ (
f

f0) (
f

f0 )]
4、平均功率
S

R(t, t

)
0


2 A
2
a2
33
通信原理
随堂作业 随机过程X (t) Acos(0t )，式中0 为常
数， 是在 (0,2 )内均匀分布的随机变量，
在（0，2）均匀分布。
求mx, RX和PX(f)
解：mX (t) E[cos(2 f0t )]
E[cos 2 f0t cos sin 2 f0t sin]
cos2
f0t
2 0
1 2
cos d
sin 2
f0t
2 0
1 2
sin d
0
A～(a,
2 A
)的高斯随机分布
1
( x a)2
fX0 (x)
exp( 2 A
2
2 A
)
X (t) t1 A,
X
(1)～(a,

2 A
)的高斯分布
1
( x a)2
fX1 ( x)
exp( 2 A
2
2 A
)
31
通信原理
解：
2. t=0和t=1时刻,均值不同,一维特征与时间有关
5.零均值平稳过程通过滤波器
Y (t) X (t) h(t)


X (u)h(t u)du h(u)X (t u)du


18
通信原理
3
统计特性
（1）均值


E[Y (t)] E[
X (u)h(t u)du] mX
h(t u)du 0
20
通信原理
6.平稳序列
若随机序列{Xn}的均值EXn mX 为常数，
自相关函数 E[XnXnm ] RX (m) 只与时间 差m有关，则称{Xn}为宽平稳序列。
21
通信原理
7.循环平稳过程
定义：若随机过程X(t) 的统计平均值(数 学期望)和自相关函数是时间的周期函数， 则X(t)称作周期平稳随机过程或循环平稳 随机过程。
erf ( x) 2 x et2 dt
0
√④ 互补误差函数 erfc( x) P( X x) 2 eu2du
x
Q( x) 1 erfc( x )
2
2
通信原理
2.联合高斯 X AZ b
其中A是任意的k×n阶矩阵，Z是随机列向 量，b是确定的实向量。
3.高斯过程 （1）高斯过程与确定信号的乘积是高斯过程. （2）高斯过程与确定信号的卷积是高斯过程.

E[ A2 ] 2

E cos(0
)

cos(20t
0

2 )

2 2
cos(0
)
因此X(t)为广义平稳随机过程。
35
通信原理
(2)
1 mx 2T
T
1
x(t)dt
T
2T
T
T Acos(0t )dt 0
Rx (
)

1 2T
T
x(t)x(t )dt
的莱斯分布。
24
通返信回原目理录
4
3.3 高斯过程
1.一维高斯分布:
pX (x)
1
( xa)2
e 2 2
2 2
均值为a,
方差为 2
概率是概率密度的面积。
P(x1 X x2 )
x2 x1
pX
(x)dx
在计算错判概率时常用到Q函数和互补 误差函数等。
26
通信原理
① 概率积分函数
∵
cos 2
f0

1[ ( 2
f

f0)
(
f

f0 )]
∴
PX(f)1 [ ( 4f

f0) (
f

f0 )]
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通信原理
3.联合平稳
•若X(t)，Y(t)是宽平稳随机过程，且
RXY (t1, t2 ) E XtY (t ) RXY ( )
其中 t2 t1 则称X(t)，Y(t)为联合宽平稳随机过程
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通信原理
例 随机过程 X(t) Acost ，A是均值为
a，方差为
2的高斯随机变量，求：
A
① X (t ) t0 及 X (t ) t1的两个一维概率密度。 ② X (t)是否广义平稳？
③ X (t) 的功率谱?
④ 平均功率是多少？