159
1800,
t
2
,
4t 9t
9, 15,
其中
t
N
（1）若平均每趟地铁的载客人数不超过 1500 人，试求发车时间间隔 t 的值；
（2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为 Q 6 p t 7920 100（单位：元），问当发车时间
t 间隔 t 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.
3
tan
1 ，则 tan 2 的值为
.
10. 已知函数 f x x ，则不等式 f x 3 f 2x 0 的解集为
.
1 x
11. 等差数列an 的前 n 项和记为 Sn ，已知 a1 a4 a7 =99，a2 a5 a8 93 ，若存在正整
数 k ，使得对任意 n N* ，都有 Sn Sk 恒成立，则 k 的值为__________
3a4 99 ，∴ a4 33 ， 3a5 93，∴ a5 31，∴ d 2 ， a1 39 ，
Sn n2 40n ， Sn 最大值为 S20 ，所以 k 20 .
【点评】此题考查的是对等差数列求 n 项和的表达式配方求最值的题型，该题属于基础题
南京市 2020 届高三年级学情调研 数学
2019.09 注意事项：
1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第 14 题）、解答题（第 15 题~第 20 题）两 部分．本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应 题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式： 柱体的体积公式：V Sh ，其中 S 为柱体的底面积， h 为柱体的高. 球的体积公式：V 4 R3 ，其中 R 为球体的半径.
Tn
为等比数列；
n
②若存在整数 m, nm n
1 ，使得 Tm
Tn
mSm nSn
，其中
为常数，且
2 ，求
的所
有可能值.
南京市 2019 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题
2019.09
21．【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答卷 卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12. 在 ABC 中，点 P 是边 AB 的中点，已知 CA 4,CP
3,ACB
2
uuur uuur ，则 CP CA 的值
3
为____________
13. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M : x a2 y 2a2 4 ，圆
N : x 22 y 12 4 ，若圆 M 上存在一点 P ，使得以点 P 为圆心，1 为半径的圆与圆
N 有公共点，则实数 a 的取值范围为___________
2x 1 1, x 0
14.
已知函数
f
x
x3
3x2
1,
g
x
1 4
x2
x,
x
0
，若函数有
y
g
f
x
a
有
6
个
零点（互不相同），则实数 a 的取值范围为____________
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答题写出必要的文字说明，证明过程或演算 步骤，请把答案填写在答题卡相应位置上． 15.（本小题满分 14 分） 已知 ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ，且 asin 2B 2bsin A （1）求 B 的大小；
3
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上．
1. 函数 f x x 1 的定义域为
.
【答案】1,
【解析】被开方式大于等于 0 【点评】考查函数定义域的求解，该题属于基础题型.
2. 已知复数 z 满足 z 2i 1 i ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的模为
40,50 ， 50,60 ，60,70 ， 70,80 ，80,90 ， 90,100 ，则图中 x 的值为
.
5. 有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组
的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为
.
6. 把一个底面半径为 3cm ，高为 4cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球（不计损
南京市 2020 届高三年级学情调研 数学
2019.09 注意事项：
1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第 14 题）、解答题（第 15 题~第 20 题）两 部分．本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应 题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式： 柱体的体积公式：V Sh ，其中 S 为柱体的底面积， h 为柱体的高. 球的体积公式：V 4 R3 ，其中 R 为球体的半径.
（3）若 b 4 ，求函数 f x 的单调区间.
20. （本小题满分 16 分）
已知数列 an
的首项
a1
2
，前
n
项和为
Sn
，且数列
Sn
n
是以
1 2
为公差的等差数列.
（1）求数列an 的通项公式；
（2）设 bn 2n an , n N ，数列bn 的前 n 项和为 Tn ，
①证：数列
23．（本小题满分 10 分）
已知集合 A 1, 2,3, 4 和集合 B 1, 2,3,L , n ，其中 n 5, n N* ，从集合 A 中任取三个不
同的元素，其中最小的元素用 S 表示，从集合 B 中任取三个不同的元素，其中最大的元素 用 T 表示，记 X T S .
（1）当 n 5 ，求随机变量 X 的概率分布和数学期望 E X ； （2）求 P X n 3
转换可得 f x 3 f 2x ，即 x 3 2x ， x 1
【点评】考查通过函数的奇偶性和单调性解决不等式的问题，新东方高中数学教研组
11. 等差数列an 的前 n 项和记为 Sn ，已知 a1 a4 a7 =99，a2 a5 a8 93 ，若存在正整
数 k ，使得对任意 n N* ，都有 Sn Sk 恒成立，则 k 的值为__________ 【答案】 20 【解析】由等差数列，可得
能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为
.
【答案】 2 3 3
b a2
【解析】由渐近线与准线的交点构成等边三角形，可得
tan 30
a
c a2
b a
3 ，得 3
c
e 1 b2 2 3 a2 3
【点评】考查双曲线的离心率计算，属于基础题型.
8.
若函数
f
x
2
sin
x
6
0 的最小正周期为
，则当
17. （本小题满分 14 分） 随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利. 根据大数据统计，某条地铁线 路运行时，发车时间间隔 t （单位：分钟）满足： 4 t 15,t N ，平均每趟地铁的载客人
数 p t （单位：人）与发车时间间隔 t 近似地满足下列函数关系：
p
t
1800
C：xy
2 cos sin
,
（ 为参数）. 若曲线 C 上的点 P 到直线 l 的距离最大值为 3，求 a 的值.
C．选修 4-5：不等式选讲
解不等式 x2 2 | x 1| 6. 22．（本小题满分 10 分） 如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是矩形， PA 平面 ABCD ， PA AD 2, E, F 分别 为 PA, AB 的中点，且 DF CE. （1）求 AB 的长； （2）求直线 CF 与平面 DEF 所成角的正弦值.
别交于点 P,Q ，求证： OB PQ 为定值.
19. （本小题满分 16 分）
已知函数 f x 2ln x ax2 bx,a,b R.
（1）若曲线 y f (x) 在 x 1处的切线为 y 2x 3 ，求实数 a,b 的值； （2）若 a 0 ，且 f (x) 2 对一切正实数 x 恒成立，求实数 b 的取值范围；
3
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上．
1. 函数 f x x 1 的定义域为
.
2. 已知复数 z 满足 z 2i 1 i ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的模为
.
3. 某算法的流程图如图所示，则输出的 n 的值为
.
4. 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
A. 选修 4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵
A
2 2
3 1
.
（1）求 A1；
（2）若曲线 C 在矩阵 A 对应的变换作用下得到曲线 C' : x2 3y2 1, 求曲线 C 的方程.
B. 选修 4-4：坐标系与参数方程
ห้องสมุดไป่ตู้在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
:
x
y
4t, 1
at
(
t
为参数,
a
为常数)曲线
.
【答案】 10
【解析】 z a bi ， z 2i 1 i a 3,b 1 z 10
【点评】考查复数的运算，属于基础题型.
3. 某算法的流程图如图所示，则输出的 n 的值为
.
【答案】 4 【解析】 n 2, p 4;n 3, p 9;n 4, p 16
【点评】考查流程图，属于基础题型.
（2）若 cosC 5 ，求 sin A C 的值.