金丽衙十二校2020学年高三第二次联考
数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）．
1、集合A=｛x|x 2
－2x ＞0}，B=｛x|－3<x<3｝，则（ ）
A 、A ∩
B ＝∅ B 、 A ∪B ＝R
C 、B ⊆A
D 、A ⊆B 2、点F 1和F 2是双曲线2
23x y -＝1的两个焦点，｜F 1F 2｜（ ） A 、2 B 、 2 C 、2 2 D 、 4
3、复数122,3z i z i =-=+，则12||z z ＝（ ）
A 、 5
B 、 6
C 、 7
D 、 52
4、某几何体的三视图如右图所示（图中单位:cm)，则该几何体的表面积为（ ）
A 2πcm 2
B 、2πcm 2
C 、（2＋1）πcm 2
D 、（2＋2）πcm 2
5.已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则“α∥β”是“l ⊥m ”的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
6、甲和乙两人独立的从五门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则E(ξ)为（ ）
A 、1.2
B 、1.5
C 、1.8
D 、2
7、函数()ln 8x f x x
=-的图象大致为（ ）
8.已知a ，b ，c 和d 为空间中的4个单位向量，且a ＋b ＋c ＝0，则｜a 一d ｜+｜b 一d ｜+｜c 一d ｜
不可能等于（ ）
A 、 3
B 、3
C 、4
D 、2
9.正三棱锥P －ABC 的底面边长为1 cm ，高为h cm ，它在六条棱处的六个二面角（侧面 与侧面或者侧面与底面）之和记为θ，则在h.从小到大的变化过程中，θ的变化情况 是（ ）
A 、一直增大
B 、一直减小
C 、先增大后减小
D 、先减小后增大，
10、数列{a n }满足：1111,n n n
a a a a +==+则a 2020的值所在区间为（ ） A 、(0，100) B 、 (100，200) C 、 (200，300) D 、 (300， +∞)
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11、《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不
足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物 品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款．问他们
的人数和物品价格？答：一共有 人；所合买的物品价格为 元．
12、（1一2x)5展开式中x 3
的系数为 ；所有项的系数和为 ． 13、若实数x ，y 满足约束条件1221x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩
，则目标函数Z ＝2x+3y 的最小值为 ；
最大值为
14、在△ABC 中，角A ，B 和C 所对的边长为a ，b 和c ，面积为2221()3a c b +-内，且∠C 为钝角，则tanB ＝ ；c a
的取值范围是 15、安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种（用数字作答）
16、定义在R 上的偶函数()f x 满足：当x ＞0时有1(4)()3
f x f x +=，且当0≤x ≤4时， f (x)＝3｜x －3｜，若方程()0f x mx -=恰有三个实根，则m 的取值范围是
17、过点P （1，1）的直线l 与椭圆22
143
x y +=交于点A 和B ，且AP PB λ=u u u r u u u r ．点Q 满足 AQ QB λ=-u u u r u u u r ，若O 为坐标原点，则｜OQ ｜的最小值为
三、解答题（本大题兵5小题，共．74分．解答应写出文字说明‘证明过程或演算步卿．
18、 (14
分）己知函数2()sin sin()2f x x x x π=++
（I ）求()f x 的最小正周期； （II ）求函数()f x 在区间20,3
π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围·
19、 (15分）在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A B ⊥侧面BB 1C 1C ，己知BC ＝1，∠BCC 1＝
3
π， AB ＝C 1 C ＝2.
（I ）求证：C 1B ⊥平面ABC ；
(II) E 在棱C 1 C(不包含端点C 1，C)上，且EA ⊥EB 1，求A 1E 和平面AB 1 E 所成角的正弦值·
20、 (15分）数列{}n a 的前n 项和为Sn ，a 1＝1，对任意*n N ∈，有121n n a S +=+ （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）若1n a
n n b a +=，求数列｛3log n b ｝的前n 项和Tn.
21、 (15分）已知抛物线E ：2(0)y ax a =>内有一点P （1，3），过点P 的两条直线12,l l 分别与抛物线E 交于A 、C 和B 、D 两点，且满足AP PC λ=u u u r u u u r ，(0,1)BP PD λλλ=>≠u u u r u u u r 。
已知线段AB 的中点为M ，直线AB 的斜率为k 。
（I ）求证：点M 的横坐标为定值；
（II ）如果k ＝2，点M 的纵坐标小于3，求△PAB 的面积的最大值。
22、 (15分）函数()f x ＝(ln )n x n x -，其中*,(0,)n N x ∈∈+∞
（I ）若n 为定值，求()f x 的最大值；
（II ）求证：对任意*m N ∈，有
（III ）若n ＝2，ln 1a ≥，求证：对任意k ＞0，直线y kx a =-+与曲线()y f x =有唯一公共点。