一次函数概念、图像及性质
【教学目标】
1. 了解认识一次函数定义、图像，并能根据函数解析式画出图像
2. 理解一次函数的截距概念，会根据直线的表达式指出它在y 轴上的截距
3. 理解、掌握一次函数性质，熟悉图像所经过的象限及y 随x 变化而变化的情况
4. 能运用一次函数的图像及性质解综合型问题
【教学重难点】
1. 根据一次函数的图像确定解析式
2. 掌握一次函数性质，并能灵活运用于解题
3. 能结合一次函数知识点灵活求解综合型问题
【教学内容】
★ 知识梳理
一、概念
定义：解析式形如)0( ≠+=k b kx y 的函数叫做一次函数
二、图像
一次函数的图象满足：（1）形状是一条直线；（2）始终经过（0 , b ）和（k
b -
, 0）两点 三、截距
定义：直线)0( ≠+=k b kx y 与y 轴的交点坐标是) , 0 (b ，截距是b
四、性质
1. 一次函数)0( ≠+=k b kx y ，当0>k 时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大；当0<k 时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小
2. 象限
（1）当0>k ，且0>b 时，直线)0( ≠+=k b kx y 经过第一、二、三象限
（2）当0>k ，且0<b 时，直线)0( ≠+=k b kx y 经过第一、三、四象限
（3）当0<k ，且0>b 时，直线)0( ≠+=k b kx y 经过第一、二、四象限
（4）当0<k ，且0<b 时，直线)0( ≠+=k b kx y 经过第二、三、四象限
一、概念
例1. 下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ）
（A ）1)1(32+-=x y （B ）x
x y 1+
= （C ）x y 3-= （D ）x y 5-=
例2. 下列各式中，y 与x 成正比例关系的是 ；成一次函数关系的是 （1）x y 43=
（2）x y 2
2-= （3）x y 29-= （4）x y 4= （5）52=+xy （6）765=+y x
例3. 下列说法中，不正确的是（ ）
（A ）一次函数不一定是正比例函数
（B ）不是一次函数就一定不是正比例函数
（C ）正比例函数是特殊的一次函数
（D ）不是正比例函数不一定不是一次函数
例4. 下列说法不正确的是（ ）
（A ）在32--=x y 中，y 是x 的正比例函数
（B ）在x y 21-=中，y 与x 成正比例
（C ）在1=xy 中，y 与x
1成正比例 （D ）在圆的面积公式2r S π=中，S 与2r 成正比例
例5. 已知b kx y +=，当3-=x 时，0=y ；当1=x 时，4=y ，求k 、b 的值
例6. 在同一直角坐标系内画出一次函数1+=x y 与2--=x y 的图像
例7. 下列图像中，不可能是关于x 的一次函数)5(--=m mx y 的图像的是（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
例8. 已知某一函数图像如图所示，求该函数解析式
例9. 已知直线l 经过点) 8 , 2 (A 和) 2 , 3 (--B
（1）直线l 是哪个函数的图像？求出这个函数的解析式
（2）画出与直线l 关于x 轴对称的直线l '
（3）求直线l '的解析式
例10. 在同一直角坐标系内，直线21+=x k y 、
22+=x k y 和23+=x k y 的位置有什么关系？
例11. 已知直线m x y +=2与y 轴的交点到原点的距离是3，求m 的值
例12. 已知直线l 经过点) 5 , 1 (，且它在y 轴上的截距为3-，求该函数的解析式
例13. 已知一次函数的图像经过点) 3 , 1 (--A ，且与直线12+=x y 都通过y 轴上同一点，求这个一次函数的解析式
四、性质
例14. 已知函数b kx y +=的大致图像如图所示，根据图像指出k 和b 的符号（即比较k 、b 与零的大小）
例15. 下列四个函数中，y 随x 增大而减小的是（ ）
（A ）x y 2= （B ）52+-=x y （C ）x y 3-
= （D ）12-=x y
例16. 直线n mx y +=与直线12+=x y 的交点不可能在（ ）
（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
例17. 若一次函数1)21(--=x m y 的图像经过点) , (11y x A 和点) , (22y x A ，当21x x <时，21y y >，求m 的取值范围
例18. 已知一次函数k x k y 21)12(-+-=，函数值y 随x 的值的增大而增大，这个函数的图像与y 轴的交点的位置在x 轴的上方还是下方？能否确定这个函数的图像与x 轴交点的位置？
★ 能力训练
1. 已知地面温度是24℃，如果从地面开始每升高1km ，气温下降6℃，那么气温t 与高度h （h > 0）的函数关系大致表示为下图中的（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
2. 如图，若函数x y -=与x
y 4-
=的图像交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为C ，求△BOC 的面积
3. 如图，已知A 、B 两点分别在x 轴和y 轴的正半轴上，连接AB ，AB = 2AO
（1）如果点B 的坐标是) 6 , 0 (，求点A 的坐标
（2）求线段AB 对应的函数解析式，并指出这个函数的定义域
（3）求原点到线段AB 的距离OH
【课后作业】
一、填空题
1. 若函数23++=x ax y 是一次函数，则a 的取值范围是
2. 已知一次函数3+=kx y 经过点) 6 , 2 (，则k 的值为
3. 函数)13(2+=x y 的图像在y 轴上的截距为
4. 若函数7+-=x y 的函数值大于3，则自变量x 的取值范围是
5. 若点) , 1 (a -和) , 21
(b 都在直线13
2+=x y 上，则a 与b 的大小关系是 6. 若函数m x y +=3的图像不经过第二象限，则m 的取值范围是
二、选择题
7. 如果一次函数b kx y +=的图像经过第一、三、四象限，则k 、b 满足条件（ ）
（A ）0 , 0>>b k （B ）0 , 0<>b k （C ）0 , 0><b k （D ）0 , 0<<b k
8. 在一次函数b kx y +=中，若0 , 0<>b k ，则图像一定不经过（ ）
（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
9. 在一次函数b kx y +=中，若0 , 0><b k ，则它的大致图像是（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
10. 已知反比例函数x
k y =的图像如图所示，则一次函数k kx y -=的图像大致是（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
11. 下列函数中，y 随x 增大而减小的是（ ）
（A ）x y 8= （B ）521+-=x y （C ）x y 2-
= （D ）521+=x y
三、简答题
12. 写出一次函数133+=
x y 的图像与x 轴、y 轴的交点坐标及截距
13. 在同一直角坐标系内画出一次函数12+=x y 与23--=x y 的图像
14. 已知b kx y +=，当1=x 时，2=y ；当5=x 时，3-=y ，求k 、b 的值
15. 已知函数m x y +-=与4-=mx y 的图像的交点在x 轴的负半轴上，求m 的值
16. 已知直线4+=kx y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，如果△AOB 的面积为6，求该直线的解析式
17. 某轮船公司规定乘客随身携带的行李若超过一定质量，需要购买行李票，已知行李票价y （元）是行李质量x （千克）的一次函数，它的图像如图所示
（1）求y 关于x 的函数解析式
（2）旅客最多可免费携带行李多少千克？。