2a cos
2 2 d
0
2
3 2a cos
4a 2 r 2 rdr
2
2 3
(4a
2
r
2)2
d
2
0
2 3
3
2 [8a 3 (4a 2 4a 2 cos 2 ) 2 ]d
4 3
2 (8a3 8a3 sin3 )d
0
2
32 3
a
3
(
2
2 sin3 d )
0
32 3
a
3
(
2
2 3
2 sind )
0
32 3
a
3
(
2
2 3
).
例10、将直角坐标形式的二次积分
2
4 x x2
4
4 x x2
I dx
f ( x, y)dy dx
0
2 x x2
2
0
f ( x, y)dy
化为极坐标形式的二次积分.
解
4 cos
I 2 d rf (r cos , r sin )rdr.
D3 : x 2 y 2 2a 2 , x 0, y 0
( a e x2 dx)2 a e x2 dx a e y2 dy e ( x2 y2 )dxdy
0
0
e ( x2 y2 )dxdy
e
0
(
x
2
y
2
)
D2
dxdy
e ( x2 y2 )dxdy
D1
D2
( )
a 0
e x2 lim
a
dx)2
4
(1
4
(1
e 2a2 )
e
4
2a2
)
e x2 dx
0
2
.
例9、计算x 2 y 2 z 2 4a 2与x 2 y 2 2ax所围
(含在x 2 y 2 2ax内)立体的体积.
解
V 2 4a 2 x 2 y 2 dxdy
D
0
2 cos
例11、计算椭圆x2 a2
y2 b2
1所围的面积.
解
广义
极坐标变换：xy
ar br
cos sin
;
0 2 ,0 r 1
J x
xr ar sin
a cos
abr; J abr
y yr br cos b sin
2
1
面积A dxdy J ddr abrddr ab0 d 0 rdr ab.
i
,
其中f
(
x,
y,
z
)称为被积函数,
y, z称为积分变量,称dv为体积微元,
体积微元在选择直角坐标时可表示为dxdydz.
直角坐标系下三重积分的计算方法：
"先一后二"计算方法：
假设积分区域为：
: ( x, y) Dxy .
z1 ( x, y) z z2 ( x, y);
则
f ( x, y, z)dv dxdy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
D
D
D
第三节、三重积分的计算法
一、直角坐标下的三重积分计算
定义、设函数f ( x, y, z)是空间有界闭区域上的有界函数,
任给一个分割 v1 , v2 ,..., vn .其中vi 表示分割的第i块小
区域, 同时也表示该小区域的体积.任取(i ,i , i ) vi ,
i 1,2,..., n.
系 下 的 三 次(累 次)积 分, 其 中 积 分 区 域分 别 为:
(1).由y
x,
y
0, z
0和x
z
2
所围成.
(2).由z xy, x y 1和z 0所围成.
解(1).
x
f
( x,
y,
z)dxdydz
dxdy 2 0
f ( x, y, z)dz
Dxy
2 dx
x
dy
2
x
f
n
作和式: f ( i ,i , i )vi
f (1 ,1 , 1 )v1 i1 f (2 ,2 , 2 )v2 ... f (n ,n , n )vn
记d i 为v i的直径(v i中任意两点间的距离的最大值),
i 1,2,....,
n
f (i ,i ,
n.
max
1 i n
{d
i
}为
Dxy
z1 ( x , y )
"先二后一"计算方法：
假设积分区域为：
: c zd
( x, y) D(z);
则
d
f ( x, y, z)dv c dz f ( x, y, z)dxdy
D(z)
例1、计算三重积分 xdxdydz,其中为三个坐标面
及平面x 2 y z 1所围成的闭区域.
及z 1, z 2所围成的圆台体.
解
: 1 z 2,
"先二后一"计算方法：
( x, y) D(z) : x 2 y 2 z 2 ,
zdxdydz
2
dz zdxdy
1 D(z)
2
zdz
1
dxdy
D(z)
2z 3dz
1
15 4
.
例3、将三重积分 f ( x, y, z)dxdydz化为直角坐标
分割的
模.
令
i )vi的极限存在,则称f ( x, y, z
0 , 若和式 )在上可积,
i 1
称极限值为f
( x,
y,
z)在上的三重积分,
记为:
f
( x( x, y, z
z)dv
)dv为
lim
0
i 1
f (i ,i ,
被积表达式, x,
i
)v
e ( x2 y2 )dxdy 2 d 0
a e r2 rdr
0
D3
1 2
2 (1 e a2
0
)d
4
(1
e a2
)
D1
e ( x2 y2 )dxdy
2 d
0
0
2a e r2 rdr
1 2
2 (1 e 2a2
0
)d
4
(1 e 2a2 ).
4D2(1
lim
a
4
ea2 ) (1 e a2
例8、计算 e ( x2 y2 )dxdy,其中D : x 2 y 2 a 2 ,并求 e x2 dx. 0
D
解 e ( x2 y2 )dxdy
2
d
a e r2 rdr
0
0
D
2
(
0
12e
r2
)
a 0
d
1 2
(1
e
a2
)
2 0
d
(1 e a2 ).
令：D1 : x 2 y 2 a, x 0, y 0; D2 : 0 x a,0 y a
解 "先一后二"计算方法：
1 x2 y
xdxdydz dxdy0 xdz
D
1
1 x
1 x2 y
xdx 2 dy
0
0
0
dz
1
xdx
1 x
2 (1 x 2 y)dy
1
x(
y
xy
y2)
1 x 2
dx
0
0
0
0
1 4
1
(x
0
2x2
x 3 )dx
1 48
.
例2、计算三重积分 zdxdydz,其中是由曲面x 2 y 2 z 2
( x,
y, z)dz.
0
0
0
(2).由z xy, x y 1和z 0所围成
解(2).
xy
f ( x, y, z)dxdydz dxdy0 f ( x, y, z)dz