[2 5 , +∞) (5) 若 x+y=1, 求 x2+y2 的取值范围.
[
1 2
,
+∞)
练习题
1求函数f（t） 3t2 （t> 2）的最小值。 6t 4 3
y)x

y

0
y 1
又
y 1

故值域为 [
0
1

,1)
1 3

y 1
3
6、均值不等式法
例 6求下列函数的值域:
(1)y=
2x x2+1
;
[-1, 1]
(2)y=
x2-2x+5 x-1
(x>1)
.
[4, +∞)
利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的 值域. 要注意满足条件“一正、二定、三等”.
求函数的值 域的方法
一、函数值域的定义：
在函数y=f(x)中，与自变量x值对应的y值， 叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
二、确定函数值域的原则：
（1）当函数y=f(x)用表格给出，函数的值域 指表格中y的集合。 （2）当函数y=f(x)的图像给出时，函数的值域 是指图象在y轴上投影所覆盖的实数y的集合。 （3）当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的 值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。
1 x2
4

9x2
,
(2) y
x [0,
1
2]
1 x
x

1
3
1．直接法（观察法）.
根据函数表达式特征，从函数自
变量的变化范围出发，充分利用不
等式的运算性质进行运算，直接得
出函数值域的一种简单方法.
练习题 求下面函数的值域：
(3)解 :| 2x 1| 0,
| 2x 1| 0, 3 | 2x 1| 3.
求函数 解：
的值域。
y
8
的图像如图所示-，3 o 5 x 由图像知：函数
的值域为
8、利用函数的单调性
例8 求下列函数的值域:
(1)y= 1-2x - x ;
[-
1 2
,
+∞)
(2)y= x+3 - x .
(0, 3 ]
主要适用于 (1) y=ax+b+ cx+d (ac>0)形式的函数
解：
定义域 x (, 1] 2

1
2 2f
(
x)
[1
,
1
],
即t [1 , 1]. 32
89
又 y f (x)
32
1 2 f (x),
y 1t2 t 1 t2 t 1 (1 t 1)
2
2
23 2
7 y 7,
9
8
函数y f (x)
1 2 f (x)的值域为[7 , 7].
函数 y x ，y 1 2x
在 x (, 1] 都是单调增函数
故
y1
2
即
y (, 1]
2
2
9数形结合法
当函数的解析式明显具备某种几何意义, 像两点间的距离公式、直线斜率等时可考虑用 数形结合法.
例9求下列函数的值域: (3)y= 2x2-6x+9 + 2x2-10x+17 ;
例5：求函数 y x 2 x 1 的值域. x2 x 1
练习：求函数
y
x2 4x 3 x2 x 6
的值域
主要适用于形如 y = dx2+ex+f (a, d不同时为零)的函数
ax2+bx+c
练习题
解：
由
y

x2 x2 x
x
得
1
(y
1) x 2

(1
（4）当函数由实际问题给出时，函数的值域由 问题的实际意义确定。
要点梳理
函数的值域
求函数的值域基本方法有：
1.直接法（观察法）2.分离常数法 3.反解法
4.换元法 5．判别式法 6、均值不等式法 7.图象法 8.利用函数的单调性9.数形结合法
例题选讲 例1.求下列函数的值域.
(1) y
(3) y
函数y 3 | 2x 1|的值域是 ,3.
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
2例.分2.求离函常数数y法：2x 3
（2，3）
(x 0) 的值域
x 1
也可用反函数法：利用函数和它的反函数的
定义域和值域的关系，通过求反函数的定
义域而求得原函数的值域。
练习题
已知sn 1 2 3 ...... n，求f（n）=（n+32sn）sn1 的最大值
最大值1/50
求y= （ 24x（x3）12 ），（x〉-1）的值域
值域是（0.3]
7.图象法：对于简单的函数可以画出函数的
图象，再根据图象观察得出函数的值域.
例7求函数 y | x 1| | x 2 | 的值域.
求函数f
(x)

x2 x2 x
x 的值域 1
f
(x)

x
x2 2Biblioteka xx 的值域是[ 1
1 3
,1]
3.反解法：当函数表达式中自变量易于解出
时，反解函数所示方程，进而得到值域.
例3.求函数
y

x2 x2
1 1
的值域
练习：函数 y | x | 2 的值域 | x | 3
此例题解决也可用分离常数法，但要注意范围
4.换元法
例4.求函数 (1) y x 2x 1 的值域.
(2) y=x+ 2-x2 ;
(3) y=sinx+cosx+sinxcosx+1 .
练习题
解：
令
1 2x t
则 t0
且 x 1t2 2
y 1 (t 1)2 1 1 (t 0)
2
2
则 y (, 1] 2
分析：令t=x+2 f（x）的值域是[1 , 4]
25
求f（x）=（1+xx42）3 值域
令x tan， （ ， ）则y=sin4.cos2 1 sin 2.sin 2.2cos2
22
2
5．判别式法：当函数可化为关于自变量的
一元二次方程形式时，不解出方程，而直接利用 判别式来求解值域。
98
拓展： (1) 形如y=ax+b± cx+d (a≠0,c ≠0)均可用代
数换元法。 (2)形如y= x + a-x 可用三角换元法。
练习：
1、求y= x + 3-x 的值域。
2、已知x2+y2/4=1，求3x+2y的值域。
求函数f
(x)

x2 x2
4x 4x
4 , x [1,0]的值域 5
求函数 y = x + 1 x2 的值域。 解：∵ 1 - x2≥0, ∴|x|≤1,
设x = sinθ(θ∈
[

2
,)2，]
∵ 3
4
44
∴ 1 y 2
解析 : 设t 1 2 f (x),则f (x) 1 t 2 ,
f (x)的值域为[3 , 4],