题目：积分不等式的若干证明技巧学院：数学科学学院专业班级：数学07－4实验班学生姓名：努尔艾拉.阿西木指导教师：塔实甫拉提副教授答辩日期：2011年5月10日新疆师范大学教务处目录1引言 (1)2 利用有些定义证明积分不等式 (1)2.1利用定积分的定义证明积分不等式 (1)2.2利用积分和及凸函数的性质证明积分不等式 (2)3 利用函数的单调性证明积分不等式 (4)4利用微分中值定理证明积分不等式 (4)5利用积分中值定理证明积分不等式 (6)6利用一些基本不等式证明积分不等式 (7)7利用泰勒展开式证明积分不等式 (7)8利用将单积分化为重积分的方法 (8)9利用分部积分法来证明积分不等式 (9)10 结论 (10)参考文献： (11)致谢 (12)积分不等式的若干证明技巧摘要：不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种联系。
论证不等式的方法很多，本文的目的主要是利用徽积分学原理归纳、总结“高等数学”中证明积分不等式的常用方法.由于积分具有较大的灵活性，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性，是理工科学生学习的一个难点，以下我们仅从讨论过程中的关键步骤出发，大致地分成若干种方法，介绍有关证题的技巧和规律。
关键词：积分不等式，积分中值定理；Rolle中值定理；Cauchy中值定理；Lagrange中值定理Integral inequality of several proof skills Abstracts：inequality is higher mathematics and the important content of modern mathematics analysis, it reflects the one between the variables a contact is very important. Demonstrates many methods, this paper the inequality in the main purpose of the principle is to use badge integral calculus "advanced mathematics synthesized and summarized in" the commonly used method proved integral inequality. Because integral has greater flexibility, so integral inequality proof often rich strong skilled, an engineering student learning a difficulty, below we only from a critical step in discussion, starting into several ways roughly, introduces relevant papers topic the skills and law.Keywords: integral inequality, integral mean-value theorem; Rolle mid-value theorem; Cauchy mid-value theorem; Lagrange mid-value theorem。
1引言有人曾经说过这样的话,初等数学中的符号多,高等数学中的不等号多,现代数学中的箭头多。
这虽不是划分数学发展阶段的准则,但也道出了各个数学阶段的显著特征,以及不等式在高等数学中的地位和作用。
在高等数学的教学中,必须重视不等式教学。
下面就从一道题出发,来展示积分不等式的多种证法,以期抛砖引玉,开拓思路。
2 利用有些定义证明积分不等式2.1利用定积分的定义证明积分不等式定义 2.1（定积分）设f是定义在[]b a ,上的一个函数，J 是一个确定的实数。
若对任给的正数ε，总存在某一个正数δ，使得对[]b a ,任何分割T ,以及在其上任意选取的点集i ξ只要δ<T 就有,)(1εξ<-∆∑=J x f ini i则称函数f在区间[]b a ,上可积。
数J 称为f在[]b a ,上的定积分。
记作： ⎰=badx x f J )(比如下面我们利用定积分的定义来解决一些问题。
例1 设f(x)当1x ≥时为一非负的增函数，试证：证明：⎰⎰⎰⎰∑∑⎰----+++=≤≤n nn nk n k n dx x f dx x f dx x f dx x f k f dx x f k f 1213212111.)()()()()()()(因)x (f 当1x ≥时为非负的增函数，既[],1,),1()()(+∈+≤≤k k x k f x f k f所以 ⎰⎰⎰++++≤+≤111)1()1()(k kk kk kdx k f dx k f dx k f 即[]⎰++∈+≤≤1,1,),1()()(k kk k x k f dx x f x f 于是,)()1()()(11111111∑∑∑∑⎰-------+=+≤≤n k n kn k n k k kk f k f dx x f k f因此 ∑⎰∑---≤≤1112).()()(n k nnk k f dx x f k f2.2利用积分和及凸函数的性质证明积分不等式首先我们看一下凸函数的定义：定义2.2.1（凸函数）设)(x f 定义在区间I 上，若[]1,0,2,1∈∈∀R I x x ，恒有)()1()(])1([2121x f R x Rf x R Rx f -+≤-+,则成)(x f 为凸函数。
在这里我们利用凸函数的定义证明一些积分不等式。
例 2.设)(x f 是[]b a ,上连续的凸函数，试证：[]b a x x ,2,1∈∀，,21x x <有⎰+≤-≤+212()()(1)2()212121x x f x f dt t f x x x x f证明；令)1,0(),(121∈-+=λλx x x t ，则[]λλd x x xf dt t f x x x x ⎰⎰-+=-21112121)()(1 （2）同理，令)1,0(),(122∈--=λλx x x t 有从而 []⎰⎰-+=-21112121)(21)(1x x x x x f dt t f x x λ[]λλd x x x f )122(--+ （3）注意到)(121x x x -+λ与)(122x x x --λ关于中点221x x +对称，由于（3）)(x f 是凸函数[][]2))()((2121122121x x f x x x f x x x f +≥--+-+λλ 故由（3）得)2()(1212121x x fdt t f x x x x +≥-⎰另外，由（2），应用)(x f 的凸性，[][]⎰⎰⎰-+≤-+=-1121012121)()1()()()(121λλλλλd x f x f d x x x f dt t f x x x x2)((21x f x f +引理 2.2.1 设)(x f 在区间I 上是凸的，对于任意点,0,,,,,,212,1≥Λ∀I ∈Λn n r r r x x x 且不全为0，有例 5 设 )(),(x g x f 在[]b a ,上连续，⎰>≥ba dx x g x g ,0)(,0)(且)(,)(x M x f m ϕ≤≤在[]M m ,上游定义，并有二阶导数，0)(>''x ϕ试证；⎰⎰⎰⎰≤bababab adxx g dx x f x g dx x g dx x f x g )())(()()()()((ϕϕ 证明将[]n b a ,等分 记；因为)(,0)(x x n ϕϕ>为凸函数，有引力1知：nn n n n n g g g f g f g f g g g g f g f g f g +Λ++Λ++≤+Λ+++Λ++212211212211)()()()(ϕϕϕϕ 及 ∑∑∑∑--≤--nab x g n ab x f x g a a b x g n a b x f x g i ii i i i )()()()()()((ϕϕ 令+∞→n 取极限，使得到要证明的不等式。
3 利用函数的单调性证明积分不等式利用函数的单调性能不能处理积分不等式方面的问题那么我们看一下： 定理3.1(单调性定理)；设)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在区间I 上递增（减）的充要条件)0)((0)(≤'≥'x f x f .例 2.)(x f 在[]1,0上可微，且当∈x （0,1）时,1)(0<<x f 0)0(=f 试证：210))((⎰dx x f d x f)(13⎰>x证明：令dt t dt t f x F xf⎰⎰-=0321)()(()()因0)0(=F 故只要证明在（0,1）内有0)(>x F ，，事实上，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰⎰xx f dt t f X f x f dt t f X f x F 02103)()(2)()()()(2)(，已知1)(0,0)0(,<<=x f f 当（))1,0(x ∈故)1,0(∈x 时)(x f 0>一下证（1）中另一个因式也大于0. 记 ),()(2)(02x f dt t f X g x⎰-=则,0)0(=g]]0)(1)(2)().(2)(2)(,,,>-=-=x f x f x f x f x f x g 于是 0)()(2)(02>-=⎰x f dt t f x g x故当.0)(),1,0(,>∈x F x 从而原不等式成立。
4利用微分中值定理证明积分不等式微分学中三个基本定理为，拉格朗日中值定理。
罗尔定理，柯西中值定理，利用这三个定理可以证明一些不等式。
定理4.1 (Rolle 定理)设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,上可导，且)()(b f a f =，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf （1）定理4.2 （Lagrange 中值定理）如函数f 满足如下条件：（1）f 在区间],[b a 上连续； （2）f 在开区间),(b a 内可导，则在),(b a 上至少存在一点ξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ 。
（2）定理4.3（Cauchy 中值定理）:设函数f 和g 满足 1.在],[b a 上都连续； 2.在),(b a 上都可导； 3.()x f '和()x g '不同时为零； 4.()()b g a g ≠， 则存在),(b a ∈ξ，使得()()=''ξξg f ()()()a gb g a f b f --)( 例 3 )(x f 在[]1,0上连续，在)01(上可微，且当∈x （0,1）时,1)(0≤'<x f 0)0(=f 试证；（210))(⎰dx x f d x f)(13⎰>x证明；令dt t x G dt t f x F xf⎰⎰==03210)()()(()()，由柯西中值定理有；存在)0(),01(εηε∈∈使得1)(1)()(2)(2)0()()(2)(2)()()(2)()()0()1()0()1()1()1(22020≥'=--==''=--=⎰⎰⎰ηηηηεεεεεεεf f f f f f dtt f dt t f f dtt f f G F G G F F G F ，即)1()1(G F ≥故从而原不等式成立。