`学科分类号110本科毕业论文题目不等式证明的若干方法姓名朱虹霞学号51院（系）数学与计算机科学学院专业数学与应用数学年级 2011级指导教师晟职称副教授二○一五年五月师学院本科毕业论文诚信声明本人重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

本科毕业论文作者签名：年月日目录摘要 (1)Abstract (2)1 常用的不等式证明方法 (3)1.1 作差比较法 (3)1.2 作商比较法 (4)1.3 分析法 (5)2 假设法证明不等式 (5)2.1 反证法 (5)2.2 数学归纳法 (6)3 构造法证明不等式 (7)3.1 代换法 (7)3.2 构造复数 (8)4 利用微分中值定理证明不等式 (9)4.1 利用拉格朗日中值定理 (9)4.2 利用柯西中值定理证明不等式 (10)4.3 利用泰勒展开式证明不等式 (11)5 利用积分定理证明不等式 (12)5.1 利用定积分定义证明不等式 (12)5.2 利用定积分性质证明不等式 (13)6 一题多解 (14)结语 (17)参考文献 (18)致 (19)摘要不等式是数学学习过程当中一个根本的问题，它浸透于数学研究的各个方面，因而不等式证明在数学中有着至关重要的作用和地位。

在本文中，我主要从不同方面总结了一些证明不等式的方法。

尤其是在初等数学中不等式证明，经常会使用到比较法，假设法，反证法等等。

在高等数学中还会用到中值定理、积分定理等等。

于是，一个更完美的不等式的证明，有助于我们进一步的探索研究。

经过去掌握这些证明方法，可能会帮助我们去解决一些数学题目。

关键词:比较法；中值定理；积分定理AbstractInequality is the mathematical learning process is a fundamental issue, it soaked in all aspects of mathematical research, which proves inequality has a crucial role and position in mathematics. In this article, I mainly summarizes some different aspects to prove inequality. Especially proving inequalities in elementary mathematics, is often used to compare methods, assumptions law, reductio ad absurdum, and so on. Higher Mathematics will be used in the mean value theorem, integral theorem and so on. Thus, a more perfect proof of inequality, helping us to further exploration and research. After prove to master these methods may help us to solve some math problems.Keywords: Comparative Law; value theorem; integral theorem引言在数学学习过程中，不等式是基本的数学关系，不等式的证明也证明了它是数学领域一个非常重要的容，然而，这些容在初等数学与高等数学中又有一个很好的体现。

到17世纪之后，它已经逐渐发展为不等式理论，成为数学基础的一个重要要组成部分。

在不等式证明之前，要根据其结构特点，往往需要对其部结构进行分析,来采取适当的，熟悉各种证据推理方法，并要掌握相应的环节，技术和语言特点，揭示问题的本质特点，使得难解的问题变动为可解性问题。

黄冬梅在《关于不等式证明的若干方法的探究》中提到过，利用“对称和均分”的观点。

根据微积分的知识，通过一些例子来探讨不等式证明在初等数学中应用。

东洪平在《利用二次求导确定函数单调性证明一些不等式》中涉及到，根据利用二阶导数方法来证明函数的单调性，通常用一个函数来求导确定，因此，某些函数的单调性不能确定的时候，对这些函数进行二次求导来确定其单调函数.忠彦在《用数学归纳法证明一类不等式的技巧》中提到，对于一边是常数的数列不等式，不妨借助于数学归纳法，直接证明概括往往有一定的困难，如果使用不等式的传递性、可加性，通过增强命题，比例常数和其他技能，就可以成功完成了归纳过渡。

1 常用的不等式证明方法比较法是不等式数学证明中最基本、最根本的方法，主要有作差法和作商法。

1.1 作差比较法作差比较法：要证不等式()->-<即可。

比较a b a b><，只要证()a b a b00法包括以下几个步骤：作差、变形、判断的符号（正或负）、得出结论。

例1 实数,a b 为正数，求证22222a b a b ++≥+。

分析：两个多项式大小的比较通常是用作差比较法。

解：()22222a b a b ++-+()()222121a a b b =-++-+()()22110a b =-+-≥小结:作差：要比较两个数（或式子）作差的大小;变形：对差值进行因式分解或几个数（或式子）的完全平方和； 判别：结合变形和题设前提下判断差的符号。

1.2 作商比较法商比较：在一般情况下，当,a b 均为正数时，借助1a b >或1a b <，来表示它的大小，一般步骤为：作商——变形——判别（大于1或小于1)。

例2 设,a b R +∈，求证：()2a ba b a b ab +≥。

分析:关于一些含有幂指数类型的题通常都用作商比较法。

证明：()2222a b a b b a a b a b a b a a b b ab ---+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭， 又指数函数的性质，当a b =时，21a b a b -⎛⎫= ⎪⎝⎭;当0a b >>时，1a b >，02a b ->，21a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭；当0b a >>时，01a b <<，02a b -<，21a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭； 即2a b a b a b ab +≥.注：作商法通常适用于含“幂”、“指数”比较类型的式子。

1.3 分析法分析法是从结论开始，一步步的向上推导，探索下去，然而证明已知的题目中设条件，在证明的过程中，推导的每一步都要可逆。

例3 已知：c b a ,,为互不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222.证明：要证ca bc ab c b a ++>++222成立，即证明0222>---++ca bc ab c b a需要证022*******>---++ca bc ab c b a即()()()0222>-+-+-a c c b b a因为c b a ≠≠,所以()()()0,0,0222>->->-a c c b b a .由此逆推，即可证明。

2 假设法证明不等式2.1 反证法反证法是证明与命题相对立的结论，可以先来假设一个错误的结论，应用到以往所学的知识来证明假设是错误的。

理论依据：命题“p ”与命题“非p ”一真、一假。

例4 已知10,10,10<<<<<<c b a ，求证:()()()a c c b b a ---1,1,1至少有一个小于等于41。

分析：“小于等于”的反面是“大于”，可以考虑用反证法。

证明：假设()()()a c c b b a ---1,1,1都大于41，则10,10,10<<<<<<c b a∴01,01,01>->->-c b a根据平均值不等式，有()()2141121=>-≥+-b a b a同理()()2121,2121>+->+-ac c b ，∴()()()23212121212121=++>+-++-++-a c c b b a2323>∴.显然矛盾，所以结论成立。

注：反证法适合用于证明一些“存在性的问题、唯一性的问题”，“至少有一个”或“至多有一个”等类型的数学问题。

2.2 数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，即按下列步骤进行：()1证明当n 取第一个值1=n 时命题成立；()2一个命题，证明了命题的假设命题进行()*0,n k k n k N =≥∈证明，建立当1n k =+时，命题也成立。

综上所述，建立了所有的自然数都成立。

例5 nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+- 。

证明：()1当1n =时，左11122=-=，右12=，一个命题成立。

()2假设当n k =时，命题成立， 即k k 211214131211--++-+- kk k 212111+++++= . 那么当1n k =+时， 左边221121211214131211+-++--++-+-=k k k k 221121212111+++++++++=k k k k k 2211213121++++++++=k k k k 上式表明当1n k =+时，命题也成立。

由()()12知，命题对一切正整数均成立。

注意：（1）数学归纳法证明命题，步骤严谨，务必严格按步骤进行。

（2）归纳推理是难点，要仔细看准再变形。

3 构造法证明不等式构造法是利用已知条件为前提，把条件进行变换和替代或模型结构的条件下，复杂等，来实现不等式的证明过程的简单化。

3.1 代换法提取一个式子作为一个整体，一个变量来代替它，使问题得以简单化，称为代换法。

还原转化的本质，关键在于构建元素和组元，理论原由是基于等效替代，这样的非标准化的问题，复杂的问题。

例7 计算下面的算式()()()()7.88 6.77 5.669.3110.98107.88 6.77 5.66109.3110.98++⨯++-+++⨯+ 解: 令7.88 6.77 5.66a =++,9.3110.98b =+， 则原式()()1010a b a b =⨯+-+⨯ ()()1010ab a ab b =+-+ 1010ab a ab b =+-- ()10a b =⨯-()107.88 6.77 5.669.3110.98=⨯++-- 100.02=⨯ 0.2=注意：在解题过程中，往往要根据解题的需要，通常把较大的数字或者复式的式子用字母来代替，这样才会使式子中的复杂的关系更加简单明了，简化或计算过程也会简便些。