2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学 （理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知（x+i ）(l- i)=y,则实数x,y 分别为 A ．x=-1 y=1 B.x=-1,y=2 C ．x=1 y=1 D. x=1,y=2 2．若集合A=A ．{|x -1≤ x ≤1 } B. {|x x ≥0} C ．{|x 01x ≤≤} D.∅3.不等式22||x x x x++>的解集是 A ．（0，2） B. （-∞，0） C ．（2，+∞） D. （-∞，0）⋃（0，+∞）4lim x →∞(1+13 +213+…+x 13)=A.5/3B.3/2C. 2D.不存在5.等比数列| a n |中 a 1 = 2，a x = 4,函数f （x ）=x(x - a 1)(x – a 2 )…(x - a x ),责f x (0)= A. 26 B.29 C .212 D. 2156.(2-x )8 展开始终不含x 4想的系数的和为A.-1B.0C. 1D.27．E ，F 是等腰直角ABC V 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF= A ．2627 B ．23 C ．33 D ．348．直线y=kx+3与圆()23x -+()22y -= 4 相交于M , N 两点，若MN ≥23,则k 的取值范围是A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦∪[)0,+∞ C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．给出下列三个命题： ①函数y =12ln 1cos 1cos x x -+与y =ln tan 2x是同一函数； ②若函数y = f(x)与y =g(x)的图像关于直线 y = x 对称，则函数 y =f (2x)与 y =12g(x)的图像也相关于直线y = x 对称；③若奇函数f(x)对定义域内任意x 都有f(x)= f(2-x)，则f(x)为周期函数，期中真命题是 A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②10.过正方体1111ABCD A B C D -顶点A 做直线1l ，使l 与棱1AB 1AD 1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作A.1条B.2条C.3条D.4条11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。
方法一：在10箱中各任意抽查一枚：方法二：在5箱中各任意抽查两枚。
国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为1p 和2p ，则 A.1p =2p B.1p ﹤2p C.1p ﹥2p D.以上三种情况都有可能12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()((0)0)S t S =,则导函数,()y S t =的图像大致为二．填空题；本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在答题卡上。
13.已知向量a r ，b r ，满足a u u r =1, b u u r =2，则a r 与b r 的夹角为60°,则 a r -b r=＿14.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有＿种（用数字作答）。
15.点A (0,x )0y 在双曲线24x-232y=1的右支上，若点A 到右焦点的距离等于02x ，则0x =16.如图，在三棱锥O ABC -中，三条棱OA ,OB ,OC 两两垂直，且OA OB OC >>,分别经过三条棱OA ,OB ,OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S ,2S 3S ,则1S ,2S 3S 的大小关系为三．解答题：本小题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）已知函数()f x =2(1cos )sin sin()sin()44x x m x x ππ+++-， （1） 当0m =时，求()f x 在区间3,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围; （2） 当tan a =2时，a =35，求m 的值。
18．（本小题满分12分） 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要进入一扇智能门，首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫;若是2号,3号通道，则分别需要2小时，3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随即打开一个你为到过的通道，直至走出迷宫为止，令表示走出迷宫所需的时间。
（1）求ξ的分布列;（2）求ξ的数学期望 19．（本小题满分12分）设函数()ln ln(2)(f x x x ax a =+-+>0). （1）当a=1时，求()f x 的单调区间。
（2）若()f x 在，0，1上的最大值为12，求a 的值。
20、（本小题满分12分）如图，BCD V 与MCD V 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，23AB =，（1）求点A 到平面MBC 的距离；（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值。
21、（本小题满分12分）设椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，抛物线222:C x by b +=。
（1）若2C 经过1C 的两个焦点，求1C 的离心率；（2）设5(0,),(33,)4A b Q ，又M 、N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若AMN V 的垂心为3(0,)4B b ，且QMN V 的重心在2C ，求椭圆1C 和抛物线2C 的方程。
22、（本小题满分14分）证明以下命题：（1）对任一正整数，都存在正整数,()b c b c <，使得222,,a b c 成等差数列；（2）存在无穷多个互不相似的三角形V ，其边长,,n n n a b c 为正整数且222,,n n n a b c 成等差数列。
参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1.D2.C3. A4. B5.C6. B7.D8.A9.C 10.D 11.B 12.A 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 13.3 14. 1080 15. 2 16. 123s s s p p三、解答题：本大题共6小题，共74分 17.（本小题满分12分） 解：（1）当0m =时,21121()sin sin cos (sin 2cos 2)sin(2)22242f x x x x x x x π=+=-+=-+ 又由352,20,,sin(2),1.844442x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈-∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得所以从而2112()sin(2)0,.2422f x x π⎡⎤+=-+∈⎢⎥⎣⎦（2）[]21cos 2111()sin sin cos cos 2sin 2cos 2sin 2(1)cos 2222222m x m f x x x x x x x x m x -=+-=+-=-++ 由tan 2a =得222cos 2tan 4cos 1tan 5a a a a a a +==++2sin2a=sin ， 22222cos sin 1tan 3cos 1tan 5a a a a a a --==-++2cos2a=sin ,所以31431(1)52552m ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，得2m =-18（本小题满分12分）解：（1）ξ的所有可能取值为：1，3，4，61(1)3P ξ== ,1(3)6P ξ==，1(4)6P ξ==，1(6)3P ξ==，所以ξ的分布列为：（2）11117134636632E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（小时） 19.（本小题满分12分） 解：函数的定义域为1'()f x x =，12a x+-， （1） 当a =1时，22'()(2)x f x x x -+=-，所以()f x 的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为(2,2);（2） 当(0,1]x ∈(0,1)x ∈时，22'()(2)xf x a x x -=+>0-，即()f x 在(0,1]x ∈上单调递，故()f x 在(0,1]上的最大值为(1)f a =，因此1a=220.(本小题满分12分)解法一：（1）去CD 中点O 。
连接OM,则OB=OM=3,OB ⊥CD,MO ⊥CD,有平面MCD ⊥平面BCD,则MO ⊥平面BCD,所以MO P AB,MO P 平面ABC,M,O 到平面ABC 的距离相等。
作OH ⊥BC 于H ，练MH,则MH ⊥ BC.求得：OH=OC ⋅0sin 60=32MH=22(3)(3)2+=152设点A 到平面MBC 的距离为d ，由V M-ABC=V M-ABC 得13⋅S V MBC ⋅ d=13⋅ S V MBC ⋅OH. 即13⋅12⋅2⋅32d=13⋅12⋅2⋅23⋅32 解得d=2155（2）延长AM,BO 相交于E,练CE,DE,EC 是平面ACM 与平面BCD 的交线。
有（1）知。
O 是BE 的中点，则四边形BCED 是菱形。
作BF ⊥EC 于F,连AF ⊥EC,∠AFB 就是二面角A-EC-B 的平面角，设为a 。
因为∠BCE=1200,所以∠BCF=600. BF=2sin 60=3. tan θ=ABBC=2,sin θ=255。
解法二：取CD 中点O,连OB,OM,则OB CD,OM CD,有平面MCD 平面BCD,则MO 平面BCD,取O 为原点，直线OC,BO,OM 为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系如图。
OB=OM=3,则个点坐标分别为C(1,0,0),M(0,0，3)，B(0,-3,0),A(0,-3,23).(1)设n r=(x,y,z)是平面MBC 的法向量，则BC uuu r =(1,3,0), BC suu r =(0,3,3)由n r ⊥BC suu r得x+3y=0； 由n r ⊥BM su u u r得3y+3z=0。
取n r =（3，-1，1）AB su u r=（0,0，23），则 d=||AB n n -su u r rr =235=2155（2）CB u u u r =(-1,0,3), CA u u u r=(-1,-3,23).设平面ACM 的法向量为1n u r =（x ，y ，z ），由1n u r ⊥CM u u u u r ，1n u r ⊥CA u u u r 得{303230x x y z -+=--+=解得x=3z ，y=z ，取1n u r=（3，1,1）又平面BCD 的法向量为2n r=（0,0,1）所以cos<1n u r ,2n r >= 11||n n u ru r ⋅22n n u u r u u r =15. 设所求二面角为θ。