第一节 多元函数积分的概念与性质 1. 物体质量的计算
设有一质量非均匀分布的物体， 设有一质量非均匀分布的物体，其密度 是点M的函数 是点 的函数 µ = f (M ). 已知，怎样求物体的质量呢？ 如果函数 f 已知，怎样求物体的质量呢？
在定积分中， 在定积分中，一根线密度为
µ = f ( M ) = f ( x)
性质5 估值性 估值性） 性质 (估值性）
mG ≤ ∫ f ( P ) dg ≤ MG
G
这个性质可以由m ≤ f ( P ) ≤ M 利用性质3 和性质4 推出.
b a
定积分 m(b − a) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M(b − a) 二重积分： 二重积分： m⋅σ ≤ ∫∫ f ( x, y)dσ ≤ M ⋅σ
i i
∆σ i
二重积分的几何意义
当被积函数 f ( x , y ) ≥ 0时， 二重积分是曲面 z = f ( x, y)为顶，
z z = f ( x, y)
V D y
其投影D为底曲顶柱体的体积. 其投影 为底曲顶柱体的体积. 为底曲顶柱体的体积 o f ( x, y)dσ = V ∫∫
D
当被积函数 f ( x , y ) ≤ 0时， 二重积分是曲顶柱体的体积的负值. 二重积分是曲顶柱体的体积的负值.
D
解
z
∫∫ f ( x , y )dσ = lim ∑ f (ξ i ,ηi )∆σ i λ →0 i =1
D
n
z = f ( x, y)
曲顶柱体
o
x
D任意划分为 个子域∆σi 任意划分为n个子域 任意划分为 (ξi ,ηi ) ∆σ i y 点 ( ξ i , η i ) ∈ ∆ σ i
D
小平顶柱体体积 =f ( ξ i ,η i ) ∆σ i 高×底面积
( 或f ( P ) = f ( x , y , z )，x , y , z ) ∈ Γ，
称为对弧长的曲线积分Байду номын сангаас称为对弧长的曲线积分
n
G
( dg λ →0 ∫ f f( x ,Py))ds = lim ∑ f (ξ i ,ηi )∆si i =1 n
L
∫
Γ
f ( x , y , z )ds = lim ∑ f (ξ i ,η i , ζ i )∆si λ →0
x
∫∫ f ( x, y)dσ = −V
D
3.多元函数积分的性质 多元函数积分的性质
多元积分的存在性与定积分类似： 多元积分的存在性与定积分类似：
若函数 f 在有界闭集G上连续，
则 f 在G上可积.
当函数f ( P ), h( P )可积时，多元函数
积分有与定积分类似的性质.
性质1 线性性质） 性质1 （线性性质）
小 部 分 ∆ g i , i = 1, 2,⋯ n. ∆ g i 也 表 示 其 度 量 .
n 任取点Pi ∈ ∆gi , 作乘积 f ( Pi )∆gi , i =1,2,⋯ .
作和式 ∑ f ( Pi )∆gi
i =1
n
不 论 G怎 样 划 分 ， 点 Pi 在 ∆gi中 怎 样 选 取 ，
o
【取极限】 m = lim ∑ f ( M i )∆σ i 取极限】
λ →0
i =1
n
λ = max {∆σ i的直径}
细棒的质量 m = lim
λ →0
λ →0
∑ f (ξ )∆x
i =1 n i
i =1
n
i
薄板的质量 m = lim ∑ f ( M i )∆σ i 均可由相同形式的和式极限来确定. 均可由相同形式的和式极限来确定. 一般地，设有一质量非均匀分布在某一 一般地， 几何形体G上的物体 可以是直线段 可以是直线段、 几何形体 上的物体 (G可以是直线段、 平面或空间区域、一片曲面或一段曲线 平面或空间区域、一片曲面或一段曲线), 其质量可以按照以上四个步骤来计算： 其质量可以按照以上四个步骤来计算：
D
性质6（积分中值定理） 性质 （积分中值定理）
设f ( P )在有界连通闭集G上连续，
则在G上至少存在一点M，满足等式
∫
定积分
G
f ( P )dg＝f ( M ) G
∫ f ( x)dx = f (ξ )(b − a),ξ ∈[a, b]
b a
D
b b b a a a
∫∫[ f ( x, y) ± g( x, y)]dσ = ∫∫ f ( x, y)dσ ±∫∫ g( x, y)dσ
D D D
性质2（区域可加性） 性质 （区域可加性） 若G分为两部分G = G1 + G2 , G1 ∩ G2 = φ ,
则
b
∫ f ( P ) dg = ∫
特别地，由于 − f ( P) ≤ f ( P) ≤ f ( P) ，
故有
定积分
∫ f ( P ) dg ≤ ∫
G
b a
G
f ( P ) dg
∫ f ( x)dx ≤ ∫ h( x)dx
b a
D D
二重积分： 二重积分：∫∫ f ( x, y)dσ ≤ ∫∫ h( x, y)dσ
若M , m分别是f ( P ) 在G上的最大值 和最小值，则
当所有∆gi的直径的最大值λ → 0时，和式
∑ f ( P )∆g
i =1 i
n
i
都趋于同一常数，
那 么 ， 称 函 数 f 在 G上 可 积 ， 且 此 常 数
为多元函数 f 在G上的积分.记作
∫ f ( P )dg = lim ∑ f ( P )∆g λ
G →0 i =1 i
n
i
函数f ( p ) 在几何形体G上的积分
(1)∫ kf ( P ) dg = k ∫ f ( P ) dg
G G
为 ( k为常数 )
(2)∫ [ f ( P ) ± h( P )] dg
G
= ∫ f ( P ) dg ± ∫ h ( P )dg
G G
∫ [ f ( x) ± g( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
∫∫ f ( x , y )dσ = lim ∑ f (ξ i ,ηi )∆σ i = V λ →0 i =1
D
n
z
f ( ξ i ,η i )
z = f ( x, y )
小柱体体积无限累加 得到以曲面为顶， 得到以曲面为顶，
y
区域D为底的曲顶 区域 为底的曲顶 为底的
o
x
D
•
的体积V. 柱体的体积 柱体的体积 (ξ ,η )
D
任意划分为n个子域 i 【分割】把D任意划分为 个子域 ∆σ（也表 分割】 任意划分为 示面积） 示面积）i = 1, 2,⋯ n, x Mi ∆σi 近似】 【近似】∀M i ∈ ∆σ i , 【求和】 求和】
n i =1
∆m i ≈ f ( M i )∆σ i
n i =1
D
y
m = ∑ ∆ m i ≈ ∑ f ( M i )∆ σ i
任意划分为n个子域 任意划分为 【分割】 把G任意划分为 个子域 ∆gi（也表 分割】 示度量） 示度量）i
= 1, 2,⋯ n,
n n
【近似】 ∆gi 上质量分布近似看作均匀 近似】 【求和】 m 求和】
∀M i ∈ ∆ g i , ∆ m i ≈ f ( M i ) ∆ g i
= ∑ ∆m i ≈ ∑ f ( M i )∆g i
G
定积分
∫
b
a
（积分区间的长度） dx = b − a 积分区间的长度）
对于二重积分来说 若在D上f ( x , y ) = 1，则有
∫∫ dσ＝D的面积
D
性质4（比较性） 性质 （比较性）
如果在G上f ( P ) ≤ h ( P ) , 则有
∫ f ( P ) dg ≤ ∫ h ( P )dg
G G
i =1 i =1
【取极限】 λ = max {∆gi的直径} 取极限】 n
m = lim ∑ f ( M i )∆gi
λ →0
i =1
2. 多元函数积分的概念
定义 表示一个有界的可度量几何形体， 设G表示一个有界的可度量几何形体， 表示一个有界的可度量几何形体
函数f ( P ) 在G上有界. 将 G 任 意 划 分 为 n个
dg ∫∫ ff((Px))dx ＝lim ∑ f ( ξ i )∆xi λ →0 i =1
b
Ga
n
为平面有界闭区域（ （2）当G为平面有界闭区域（常记为 ）时， ） 为平面有界闭区域 常记为D f ( P ) = f ( x , y )，x , y ) ∈ D， 二重积分 ( 称为二重积分 称为 n
n
( P )d ∫∫ ff ( x , )ydgσ = lim ∑ f (ξ i ,ηi )∆σ i ∫G λ →0 i =1
D
Ω 就 是 积 分 域 ， dv 称 为 体 积 元 素 .
Ω
G
为平面有限曲线段（ （4）当G为平面有限曲线段（常记为 ） ） 为平面有限曲线段 常记为L） 或空间有限曲线段（ 或空间有限曲线段（常记为 Γ）时， f ( P ) = f ( x , y )， , y ) ∈ L (x
D就 是 积 分 域 ， dσ 称 为 面 积 元 素 . 为空间有界闭区域（ （3）当G为空间有界闭区域（常记为 Ω）时， ） 为空间有界闭区域 f ( P ) = f ( x, y, z )， , y, z ) ∈Ω, 称为三重积分 (x 称为三重积分
y )dv ∫∫∫∫ f (fx(, P,)zdg = lim ∑ f (ξ i ,ηi ,ζ i )∆vi λ →0 i =1