y
y v y y
注意： z 与f 是不同的.
y y
.
15
2．隐函数求导法：
方法1 对方程两端求(偏)导数，然后解出 所求(偏)导数.
方法2 隐函数的求导公式：
设z z(x, y)是由方程F(x,y,z)0
所确定的隐函数，则
z Fx(x, y,z) x Fz(x, y,z)
z Fy(x, y,z) y Fz(x, y,z)
若曲线的方程表示为
y y x F(x, y,z)0
z
z
x
G(x, y,z)0
则在点 M
处切向量为
0
T r 1 ,yx 0zx 0
.
19
2．曲面的切平面及法线
（1）设曲面方程为（隐函数形式）
F(x,y,z)0
M0(x0, y0,z0)为曲面上一点,则曲面在点 M
处
0
的法向量为
r n(F x,F y,F z)M 0
.
12
设 z f u , v , u x ,y , v x ,y ,
则 zf x,y,x,y 是x, y的复合函数.
若1u,u,v,u存在，
x y x y
2zfu,v可 微 ，
则 z z u z v x u x v x
z
u
x y
z z u z v .
v
x
y
y u y v y
8 了解方向导数的概念和计算公式. 9 了解梯度的概念和计算方法以及梯度
与方向导数之间的关系. 10 掌握多元函数无条件极值和条件极值 的求法及最大（小）值的求法.
.
3
二 要点提示
注意 1.从一元函数推广 2.多元函数与一元函数的区别
（一）函数的概念
1.点函数的定义：
设 是一个点集，如果对于每一点
.
21
n r(F x ,F y ,F z)M 0
（2）若曲面方程为（显函数形式）
z f(x, y)
则可写为隐函数形式 F(x,y,z)0
f(x,y)z0（ 或 zf(x,y)0 ）
曲面上 M
点的法向量为
0
n r(fx,fy,1)（ 或 n r(fx ,fy ,1 )）
Байду номын сангаас
.
22
（六）方向导数与梯度
1. 方向导数的定义
曲线在点 M 0 处的切线方程为 xx0 yy0 zz0 x(t0) y(t0) z(t0)
曲线在点 M 0 处的法平面方程为
x ( t 0 ) ( x x 0 ) y ( t 0 ) ( y y 0 ) z ( t 0 ) ( z z 0 ) 0
.
18
T r x t0,y t0zt0,
P 变量z按照一定的法则总有确定的 值和它对应，则称z是点P的函数，记为
z f (P)
.
4
• 当 PR时，
zf(P)f(x)为一元函数； 当 PR2 时，
zf(P)f(x,y)为二元函数； 当 PR3 时，
zf(P )f(x 1,x 2,x 3)为三元函数； …… 当PRn 时，
zf(P )f(x 1 ,x 2 ,Lx n )为n元函数.
.
13
求多元复合函数偏导数的关键在于弄清
函数的复合结构,它可用“树形图”来表示.
若 z fu ,v ,u x ,v x ,
则dz z duz dv dx udx vdx
u
z
x
称为全导数.
v
.
14
设 zfu (x ),v(x ,y),y
则zf duf v x udx vx
z
u v
x
z f v f
第八章 多元函数微分学 小结
.
1
一 基本要求
1 理解二元函数的概念，会求定义域. 2 了解二元函数的极限和连续的概念. 3 理解偏导数的概念，掌握偏导数及
高阶偏导数的求法. 4 掌握多元复合函数的微分法. 5 了解全微分形式的不变性. 6 掌握隐函数的求导法.
.
2
7 会求曲线的切线及法平面，曲面的切 平面及法线.
.
16
（五）微分法在几何上的应用
1．空间曲线的切线及法平面
（1）设空间曲线：
x x ( t ) ， y y ( t ) ， z z ( t ) t 为 参 数
M0(x0, y0,z0)是曲线上一点，其相应的参数为
t0
,
则曲线在点 M
处切向量为
0
T r x t0,y t0zt0,
.
17
T r x t0,y t0zt0,
f
f(xx,yy)f(x,y)
lim l 0
2．计算公式：若 z f(x, y)可微，则
f f cosf sin
l x
y
其中 为 x 轴正向到方向 l 的转角
.
23
• 若 uf(x,y,z) 可微,则
x , y 的线性部分 ( x)2( y)2
z [fx (x ,y )x fy (x ,y )y ] o( )
全微分公式：
若 z f( x ,y ) 的 全 微 分 存 在 ， 则
dz z dx z dy x y
.
9
（三）多元函数连续﹑偏导存在与可微 之间的关系
一元函数：可导 函数可微
.
5
2.多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限
次的四则运算和复合步骤所构成，可用一 个式子所表示的函数，称为多元初等函数.
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.
.
6
（二）偏导数与全微分
1．偏导数 （1）定义：偏导数是函数的偏增量与自变量 增量之比的极限.
z lim x z lim f(x x ,y )f(x ,y )
x x 0 x x 0
x
zlim yzlim f(x,y y)f(x,y)
y y 0 y y 0
y
.
7
（2）计算偏导数
求多元函数的偏导数实际上是一元函数的 微分法问题，对一个变量求导，暂时将其余 变量看作常数.
.
8
2．全微分
全微分定义： z A x B y o ()
.
20
n r(F x ,F y ,F z)M 0 切平面方程为
F x (x 0,y0,z0)(xx 0)F y (x 0,y0,z0)(yy0) F z(x 0,y0,z0)(zz0)0
法线方程为
xx 0 yy0 zz0 F x (x 0,y0,z0) F y (x 0,y0,z0) F z(x 0,y0,z0)
可导 连续
多元函数： 偏导数连续 函数可微
函数可微
函数的偏导数存在
函数连续
多元函数连续 函数的偏导数存在
.
10
多元函数连续、可偏导、可微的关系
函数连续
函数可偏导
函数可微
偏导数连续
.
11
（四）多元函数微分法
1．多元复合函数求导法
（1）链式法则 链式法则的实质是函数必须对中
间变量求导。依据函数的复合结构， 可按照“连线相乘，分线相加”的原 则来进行.