解：1.系统开环传递函数为：
G(S)
Sa
S(S 2)(S 4)
单位负反馈系统，闭环传递函数为：
Sa
(S
)
G(S) 1 G(S
)
S 1
(S
2)(S Sa
4)
S3
Sa 6S 2 9S
a
S(S 2)(S 4)
闭环特征方程为：S3 6S 2 9S a 0
整理得：1
S3
a 6S 2
G(S)
S
(S
Sa 2)(S
4)
8S (
a( S 1) a
S 1)(S
1)
24
则为Ⅰ型系统，开环增益为：k a
8
则：ess
1 k
8 a
0.5
则：a 16
a 的取值范围为 16 a 54
二.系统结构如下图所示：
1.绘制T从 0 变化的根轨迹。
2.确定系统在欠阻尼状态下T的取值范围。 3.求闭环极点出现重根时的闭环传递函数。
i 1
nm
(2) (2) 1 (3) 31
0
渐近线与实轴正方向夹角
a
பைடு நூலகம்
(2k 1)
nm
2
也就是虚轴即为渐近线
分离点： 1 1 1 1
d 2 d 2 d 1 d 3
整理得： d 2 4d 1 0
d1 2 3
d2 2 3 舍掉，不在根轨迹上
分离角：
l
180 l
180 2
900
方程求得。
k* 2 3 3
2
1
2 3 2 2 3 1
解得： k* 3(3 3)
1 3
特征根s=0处对应的 k * 值也利用模值方程求得：
k* 3 2 2 1
1
k*
4 3
满足稳定性时，k* 4 要使系统的三个根均为负
实根，则：
3
k* 4 3
0 k* 3(3 3) 1 3
0 k*
1
S(S 1) (S 2)(S
1)
S(S
(S 2)(S 1) 1) (S 2)(S
1)
S(S 1)
(S 2)(S 1) 2(S 1)(S 1)
(S 2)(S 1) 2(S 1)2
三.绘制下图所示系统的概略根轨迹，并用根轨迹 的模值方程确定使系统的三个根均为负实根的 k * 取值范围。
则所求的 k *的取值范围为 4 k* 3(3 3)
3
1 3
四.某单位负反馈系统的开环传递函数为：
(S a) G(S) S(S 1)2
1.绘制系统的闭环根轨迹图（a : 0 ~ ）
2.当 r(t) 1.2t 时，确定a 值范围，使系统的稳态
记住画根轨迹的八条法则。注：实轴上的根轨迹
非常重要（如果实轴上的根轨迹画错了，整个根
轨迹就全错了）。
一.已知单位负反馈系统的开环传递函数为：
G(S)
Sa
S(S 2)(S 4)
1.当 a从 0 时，绘制系统的闭环根轨迹图。 2.求系统为欠阻尼时的a值范围。 3.确定a值范围，使系统在单位斜坡信号作用下 的稳态误差 ess 0.5
P2(-1,-j)
这即为 T 从0 变化时的根轨迹。
2.系统在欠阻尼状态下，也就是根轨迹在复平面
上变化，而不在实轴上变化 0 T 1
3.闭环极点出现重根时，也就是根轨迹在分离点
处，此时闭环极点 S1 S2 1 系统此时为临界
阻尼 T 1 。
则闭环传递函数为：
(S 2)(S 1)
(S)
n
m
a
i 1
Pi Zi
i 1
nm
(3) (3) 3
2
渐近线与实轴正方向夹角：
a
(2k 1)
nm
, ,
33
分离点： 1 1 1 0
d d 3 d 3
解得：d 1, a S (S 3)2 (1) 4 4
分离点处系统为临界阻尼。
分离角：l
180 2
900
令 S j 代入闭环特征方程：
R(S)
k*(S+3)
-
(S+2)2(S-1)
C(S)
解：开环传递函数
G开
(S)
(S
k*(S 3) 2)2 (S 1)
开环零点： m 1, Z1 3
开环极点： n 3, P1 P 2, P3 1
则根轨迹有3条分支，有n-m=2条渐近线
求渐近线与实轴的交点坐标
n
m
a
i 1
Pi Zi
R(S)
TS+1
S+2 S(S+1)
C(S)
解：1.系统的开环传递函数为：
参量根轨迹
G开
(S)
(S
2)(TS 1) S(S 1)
则闭环传递函数为
(S) G开(S) (S 2)(TS 1)
1 G开(S) S 2 2S 2 TS(S 2)
特征方程为： D(S) S 2 2S 2 TS (S 2) 0
( j )3 6( j )2 9( j ) a 0 解得： 3 a 54
闭环根轨迹如图所示。
3
-3
-1 0
3
2.当根轨迹在复平面上时，系统处于欠阻尼状态
闭环极点为共轭复根，则a的范围为：4 a 54 3.当 0 a 54时，闭环根轨迹在S的左半平面
系统稳定 输入为单位斜坡信号r(t) t，而开环传递函数为
1
TS(S S 2 2S
2) 2
0
则等效开环传递函数：
G(S)
TS (S 2) S 2 2S 2
(S
TS (S 1 j)(S
2) 1
j)
根轨迹方程：G(S) 1
开环零点：m 2, Z1 0, Z2 2
开环极点：n 2, P1 1 j, P2 1 j
分离点： 1 1 1 1
系统有二重极点，有起始角
Pl
1 [(2k 2
1)
m i 1
n
Pl Zi
i 1
Pl Pi ]
il
0和
从s=-2极点处，向右向左各引出一支根轨迹
这样，就可以画出根轨迹图：
j
k=∞ k=0 -3 -2
0 -1 -2+
k=0 1
要使系统的三个根均为负实根，则特征根均在负
实轴上，分离点 2 3 处对应的 k *值利用模值
d d 2 d 1 j d 1 j
n
(
1
m
1 ) 求分离点的坐标公式
i1 d Pi i1 d Zi
解得：d 1
分离角： l
180 l
180 2
900
此时对应为T值：
（应使用模值方程求得）
T S S2 1T 1
S 1 j S 1 j
P1(-1,j)
T=0
Z2
Z1
-2
-1
0
T=∞
9S
0
（根轨迹方程）
令
G(S)
S3
a 6S 2
9S
a S(S 3)2
为等效的开环传递函数
根轨迹方程：G(S) 1
当 a 从0 时，开环零点：m 0 ，开环极点：
n 3, P1 0, P2 P3 3 (3,0) 及 (,3)
实轴上的根轨迹为：
-3
0
渐近线条数：n-m=3 渐近线与实轴的交点坐标：