河内塔问题------教学设计新建三小徐珍珠教学内容：新人教版四年级上册第111页，河内塔问题。

教学目标：1、让学生在学习过程中，根据解决问题的需要，经过自己的探索，体验化繁为简找规律这一解决数学问题的基本策略。

2、经历收集有用的信息进行归纳、类比与猜测、再验证猜测，这一系列数学思维过程，发展学生的归纳推理能力。

3、能用有条理的、清晰的语言阐述自己的想法。

4、在解决问题的活动中，学习与他人合作，懂得谦让，能相互帮助。

5、在老师的鼓励与引导下，能积极地应对活动中遇到的困难，在学习活动中获得成功体验。

教学重点：在教学过程中，渗透化归的思想,指导学生根据解决问题的需要，收集有用的信息，进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力。

教学难点：在解决问题过程中，引导学生进行有条理的思考，训练学生对自己的结论做出条理清晰的说明。

教学具准备：PPT课件、河内塔教具、河内塔学具、游戏记录表。

教学过程：课前谈话：孩子们，这节课是一节游戏与数学相结合的课，将会是一节很有趣的数学课，那你们有没有准备好要积极思考，大胆发言呀？准备好了，老师非常期待你们的精彩表现!首先，我们先来学习一个简单的数学知识：2我们可以写成2一次方，2乘2也就是两个2相乘可以写成2的2次方等于4，2乘2乘2可以写成2的3次方等于8，以此类推：4个2相乘可以写成2的4次方等于8再乘以2得16.同学们学得很好，现在请同学们做一道找规律填空题：2 4 8 16 ……（）第10数是几？（）第N数是几？请同学们拿出草稿本，想想，算算，找找规律。

我们不要怕失败，因为失败是成功之母。

找到了，规律是第几个数，就是几个2相乘的积。

那第20个数呢，你们再想一想，游戏引入同学们都喜欢玩游戏，老师这儿就有一种很好玩的游戏你们肯定想试试。

这个游戏要用到的玩具叫河内塔。

（出示课件）（它是由一块底盘，三根杆子和一些圆盘组成的）大家现在还想知道什么呢，是不是怎么玩呢？大家别着急，它的游戏规则和一个传说有关，请同学们认真听老师讲一个关于河内塔的古老的传说，游戏规则就在这个传说里面。

出示课件讲传说。

二、介绍传说1、听了传说后，你们担心不担心河内塔上的64块圆盘很快就会移完，世界末日很快就会到来呀!到底有没有这个担心的必要呢？这个传说究竟蕴含了什么样的奥秘呢？今天我们就来研究河内塔问题，找到移完64个圆盘最少所花的时间，揭开这个古老传说的奥秘。

（出示课题）2、探索玩法：听了刚才的传说，你懂得了玩这个河内塔规则吗？看谁听得认真看得仔细。

（出示白屏。

）请你说出其中的一条。

同学们看看是不是有这四点：（出示课件）游戏规则：（1）、把第一根杆上的珠子全部移到第三根杆上；（2）、可以利用中间的杆帮助；（3）、每次只能移动一颗珠子；（4）、大珠子不能放到小珠子上面。

2、这个游戏规则知道了，我们赶快来研究河内塔。

神庙里的河内塔上有64个圆盘，（板书在表格里64）（你圆盘的块数，用的步数）你们想像一下，如果让你去移，会怎样？生可能会说：太难了！那你们说怎么办？有没有一个好方法能快点研究。

师：你好棒，你知道吗?你说的办法就是化繁为简找规律方法的前面的步骤--化繁为简。

今天我们就是要用这种化繁为简找规律的方法来研究河内塔问题。

谁来说说你是怎样理解这个方法的呢？64块太难了。

那从最简单的几个开始好呢。

三、用游戏操作研究河内塔问题1、(教师拿起手中的河内塔)我们就把圆盘的块数改成1块，从最简单的1块开始研究。

现在河内塔上只留下一块圆盘， (教师拿起手中的河内塔)首先我要向你们介绍珠子原来所在的杆叫1号杆，中间这杆叫2号杆，到达的终点杆叫3号杆。

要想把1号杆上的1块圆盘移到3号杆，需要几步？生说：1步。

怎样移？直接把1号杆上的圆盘移到3号杆上，（板书3号杆）只需1步就可以了。

（板书1）那还可以怎样去移？生：还可以先把1号杆上的圆盘移到2号杆上，（板书2号杆）再从2号杆移到3号杆，用2步。

（板书2）你们喜欢那种方法？用1步的。

为什么：因为它快，步数少。

你们说我们是不是应该在用的步数上加上两个字，哪两个字，我们今天研究的就是最少用的步数。

其它的移法我们可以不去研究。

了解了吗？了解了，现在我们来研究2块圆盘的移动需要的最少步数。

板书：2。

(教师拿起手中的河内塔加一块圆盘)给你们20秒时间思考，计时开始。

时间到。

让一生说：先把小圆盘从1号杆移到2号杆（板书2号杆），为什么。

第一步很重要，我们一定要想好了再移。

因为大圆盘不能放在小的上面，所以要先把小圆盘移到2号杆。

再把大圆盘从1号杆移到3号杆，最后把小圆盘从2号杆移到3号杆，共几步。

还有不同的移法吗。

生答。

（回答得很完整）看大屏幕，我们再回顾一遍移动过程。

移动圆盘记录表3、那我们接下来继续研究3块圆盘的河内塔问题。

你们想不想自己玩。

同学们请看大屏幕，先把题目和操作要求看明白了，老师再发河内塔给你们玩。

课件出示题目。

有①号、②号、③号三根杆子，你能借助②号杆把①号杆上的3颗珠子移到③号杆而不改变珠子的上下顺序吗？最少移动多少次？移动规则如下：（1）每次只能移动一个珠子；（2）大珠子不能放到小珠子上面。

（默读一遍题目）完操作要求。

（课件出示要求。

）（齐读一遍）（1）、小组两个同学商量好谁先操作，一人操作时另一人帮忙。

（2）、每完成一次操作后两人交换。

（3）、用最少的步数完成你们的操作。

老师边给你们发河内塔，你们边商量。

两人一组，一组一个。

给你们两分钟时间操作，现在可以开始行动了！师巡视，指导学生操作。

如果操作的时候，发现行不通，回到原点再试试。

动作最快的一组里的一名同学请上来用演示一遍。

并表述移的过程。

有比他步数少的操作方法吗？你怎么能确定你7步是最少的步数吗，你有什么好的方法吗。

生答。

同学们，老师把你们刚才移的过程做了几幅简图，看谁看明白了这几幅简图所要表达的意思，你就明白了怎样去确定最少用的步数。

教师操作验证最少移动的步数。

操作方法：当珠子的数量变成3颗时，可以把上面的2颗珠子看成“连体珠”，（要想把最大的圆盘移到三号杆上，先想办法把上面的两块圆盘移到二号杆上，前面我们已得出把两块圆盘移到另一根杆上，最少用三步，我们就用最少的三步移到二号杆上。

）(老师演示1，2，3)再移大珠子移到3号杆需要1次(老师演示1)，最后把“连体珠”用最少的3次移到3号杆上。

(老师演示1，2，3)，所以能确定一共用7步。

（师在黑板上记录最少移动的步数。

）同桌之间再相互说一遍。

4、随着圆盘块数的增加，河内塔问题也会越来越难，同学们怕不怕难？不怕老师要的就是你这句话，接下来我们继续研究4块圆盘的移动最少用的次数，你能不能不用去移圆盘，就能算出最少的次数呢?有算得比他次数少的吗？你怎么能确定你移的是15步，你有什么好的方法吗。

可以借鉴前面移三个时找最少次数的方法。

生答。

教师用简图操作验证最少移动的步数。

操作方法：当珠子的数量变成4颗时，可以把上面的3颗珠子看成“连体珠”，移到2号杆最少需要7步，大珠子移到3号杆需要1步，再把“连体珠”移到3号杆用最少的7步，所以能确定一共用15步。

（师在黑板上记录。

）四、观察分析，找规律我们已经研究了4块个圆盘，照这样研究下去，20块圆盘还没研究完就已经下课了。

何况要研究64块圆盘。

那有什么好方法能快点研究呢？你们看我们已经研究出了一组数据。

现在可以？引出生答：找规律。

请开动你的脑筋，观察表格能不能发现规律呢？（生演算，讨论，交流，发言）得出规律是：最少用的步数是前面最少用的步数的2倍加1。

我们来验证下，如：3块圆盘用的最少的步数是7步，是前一项3步的2倍加1。

你们很棒，规律是对的，但还不是最佳的规律，你们想，如果我要研究移动20块圆盘最少用的步数，就必须得知道移动19块圆盘最少用的步数，比较麻烦。

还有一个规律，和圆盘的块数有关，只要知道需要移动几块圆盘就能算出最少用的步数。

厉害吧，现在你们快把这个规律找出来，找得出来，你们更厉害。

（请同学们拿出草稿本和笔想想，算算，想想这组数还可以用什么算式代替。

）你说,我发现这组数与那组数依次都相差 1.所以这组数的规律是第几个数就是几个2相乘减1.是：有几块圆盘就把2乘几次再减1，到底是不是这个规律呢？我们还是以3块圆盘为例来验证一下，3块圆盘把2乘3次再减1，2×2×2－1=7。

五、用规律演算请你们算一算移动10块圆盘最少用的次数。

移动20块圆盘最少用的次数。

我们已经找到了算出圆盘移动次数最少的规律，你能运用这个规律推算出移完64块圆盘最少要用的步数吗？（生演算，发言）六、课堂小结规律找到了，算式也能列出来了，我相信移动64块圆盘移动需要最少的次数，你们一定能演算出来。

可是课堂时间有限，同学们有兴趣课后一步一步往后算出来。

老师已经算好了，现在直接告诉你们，可能结果会让你们吓一跳。

：传说中的柱子上有64块圆盘，按照我们刚才找到的规律，得到最少须要移动18446744073709551615 这么多次才能完成操作。

（边说边用课件演示。

）假设搬一块圆盘要用一秒钟，1小时有3600秒，我们把这个时间换算成小时，就有5 1 2 4 0 9 5 5 7 6 0 3 0 4 3 1小时，1天有24小时，换算成天，大约有213503982334601天，1年我们以365天来计算，换算成年，大约是五千多亿年。

根据现在的科学研究，地球从诞生到现在，也才只有大约46亿年的时间。

太阳的寿命大约还有100～150亿年。

而要完成64块圆盘的河内塔操作却要5千多亿年，我们就不必担心世界末日会到来了。

可见印度传说仅仅是一个传说而已。

七、我会做。

刚才那么难的河内塔问题都被我们解出来了，相信接下来的一道题目肯定也是难不到你们的。

请看题目：小侦探柯南在学校图书馆借书时，发现有一列书的编码是这排列的2、4、6、8……。

柯南想考考你们：第10本书的编码是什么数？用n表示第几本书，那第n本书的编码又是什么数呢？2 4 6 8 （）……（第10个数）（第N个数）知道答案，请举手。

八、学生总结学到这里，你有什么收获呢？八、结束语今天同学们真了不起，能研究许多数学家在研究的河内塔问题，知道了用化繁为简找规律解决复杂的数学问题，并取得了一些研究成果，探索到了河内塔的奥秘。

老师为你们而骄傲。

其实在我们生活当中，还要用到更多的数学思考方法解决复杂的数学难题，只要我们打开自己敏锐的数学直觉，认真观察，善于思考。

我们就能在周围的事物中发现更多的数学奥秘。

最后老师用著名数学家华罗庚爷爷说的一句名言送给你们：在解决数学难题时我们要学会知难而退。

课后请你们联系这节课学习的内容想想句话的含义。