消去参数t,得 的普通方程为 ；
将 去分母得 ,将 代入,得 ,所以曲线C的直角坐标方程为 .
（2）由（1）可设曲线C的参数方程为 （ 为参数）,
则曲线C上的点到 的距离
,
当 ,即 时, ,
此时, ,
所以曲线C上的点到直线 距离的最大值为 ,该点坐标为 .
23．（1） ,
①由 ；②由 ；
③由 ；所以解集为
当 时, 为增函数, ；当 时, .故 时, , 为增函数,故 ,即 的最小值为1.
（2）令 , ,则本题即证当 时, 恒成立.
当 时,若 ,则由（1）可知, ,所以 为增函数,故 恒成立,即 恒成立；
若 ,则 , 在 上为增函数,又 , ,故存在唯一 ,使得 .
当 时, , 为减函数； 时, , 为增函数.
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河南省南阳市第一中学
2021届高三年级上学期第二次月考检测
数学(理)试题参考答案
2020年9月
一、单选题
1．B2．C3．B4．A5．A6．C
7．C8．D9．D10．C11．D12．D
二、填空题
13．314． 15． 16．①③
三、解答题
17．（1）根据指数幂的运算性质,可得原式
.
（2）由对数的运算性质,可得原式
.
18．（1）因为奇函数定义域关于原点对称,所以 .
又根据定义在 有定义,所以 ,解得 , .
（2） ,令 ,
则方程 有解等价于 有解
也等价于 与 有交点.
画出图形根据图形判断：
由图可知： 时有交点,即方程 有解.
19．（1）令 ,则 ,当 时, ,
故 在 上单调递增,所以 ,
即 ,所以 .
（2）由已知, ,
当 时,令 ,得 ；令 ,得 .
∴ 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
（2）当 时, 在 上单调递减,∴ ,不合题意.
当 时, ,不合题意.
当 时, , 在 上单调递增,
∴ ,故 满足题意.
当 时, 在 上单调递减,在 单调递增,
∴ ,故 不满足题意.
综上, 的取值范围为 .
21．（1） ,令 , ,则 .
依题意, 有3个零点,即 有3个根,显然0不是其根,所以
有3个根,令 ,则 ,当 时, ,当
时, ,当 时, ,故 在 单调递减,在 , 上
单调递增,作出 的图象,易得 .
故实数 的取值范围为 .
20．解：（1） ,
当 时, ,∴ 在 上单调递减.
当 时,令 ,得 ；令 ,得 .
∴ 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
又 , ,故存在唯一 使得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
故 时, , 为增函数； 时, , 为减函数.
又 , ,
所以 时, , 为增函数,故 ,即 恒成立；
当 时,由（1）可知 在 上为增函数,且 , ,故存在唯一 ,使得 .则当 时, , 为减函数,所以 ,此时 ,与 恒成立矛盾.
综上所述, .
22．解：（1）由 （t为参数）,得 .
（2） , ,
, .
设 ,
当 时，函数单调递减，所以 ；
当 时，函数单调递减，所以 ；
当 时，函数单调递增，所以
所以 .