推理知识点及题型归纳总结知识点精讲1．合情推理合情推理包含归纳推理和类比推理两种基本推理方法．(1)归纳推理：根据某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这种特征的推理，是“部分到整体，个别到一般”的推理，属不完全归纳推理．(2)类比推理：两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有相似特征的推理，是“特殊到特殊”的推理．2．演绎推理演绎推理就是根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理，常用的演绎推理规则有：假言推理；三段论推理；传递性关系推理和完全归纳推理．特别是“三段论”推理，其模式为：(1) 大前提——已知的一般结论． (2) 小前提——所研究的特殊情况． (3) 结论——根据一般结论，对特殊情况做出判断，步骤如下：①若S ∈M ，则S 有性质P ；②检验，S '∈M ；③故S '具有性质P ．注 如大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．题型归纳及思路提示题型1 归纳推理 思路提示对所给的几个特殊事例进行观察，归纳猜测出它们的共同点，好一般的规律性结论，但结论的正确性还需进一步证明．这里遵循的是由特殊到一般的推理原理．例14.1 (2012湖北理13)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，23，33，…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：(1)4位回文数有＿＿＿＿个；(2)2n ＋1(n N +∈)位回文数有＿＿＿个．分析 本题可通过归纳推理，结合计数原理求解．解析 解法一：由于本题是填空题，不需要严谨的推导过程，由此可以通过归纳推理获得结论．通过分析回文数的特征，可知3位回文数与4位回文数的个数相同，9×101个．因为1位回文数与2位回文数的个数为9×100个；3位回文数与4位回文数的个数为9×101个，5位回文数与6位回文数的个数为9×102个．根据此规律，推测2n ＋1位回文数有9×10n个． 解法二：利用排列组合求解． 从左右对称入手考虑．(1)4位回文数第1，4位取相同且非零数有19C ＝9(种)不同的方法；第2，3位可取0，有110C ＝10(种)不同的取法，即4位回文数有90个；(2)由题意可知：首位与末位不能取0，故有9种方法，其余各位置关于中间数对称，每两数都有10种方法，正中间数也有10种方法，故2n ＋1(n N +∈)位回文数有9×10n个．评注 本题实际上是通过归纳推理求解，即找规律． 变式1 观察下列各式： 55＝3125，56＝15625，57＝78125，…，则52011的末四位数字为( )． A ．3125 B ．5625 C ．0625 D ．8125变式2 n 个自然数按规律排成如图14－1所示的序列：依次规律从2013→2015，箭头方向应为( )．A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓变式3 下面的倒三角形数阵满足如图14－2所示的排列．图14－2(1)第一行的n个数分别是1，3，5，…，2n－1；(2)从第二行起，各行中的每一个数都于它肩上的两个数之和；(3)数阵共有n行，则第5行的第7个数是＿＿＿＿＿＿＿．例14.2(2012江西理6)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )．A．28 B．76 C．123 D．199解析从给出等式的特点可观察发现，等式左端的值，从第三项开始，后一项是前两项的和，照此规律，则有：1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，∴a10＋b10＝123．故选C．评注本题也可通过演绎推理得出正确答案．由a＋b＝1，a2＋b2＝3可知，2ab＝－2，即ab＝－1；所以a10＋b10＝(a5＋b5)2－2a5b5＝112＋2＝123．变式1观察下列两组三角恒等式，请各归纳出一个一般三角恒等式，并思考一下如何证明？(1)2223sin15sin75sin1352︒+︒+︒=，2223sin30sin90sin1502︒+︒+︒=，2223sin45sin105sin1652︒+︒+︒=，2223sin60sin120sin1802︒+︒+︒=．(2)223sin10sin10cos50sin504︒+︒︒+︒=，223sin15sin15cos45sin454︒+︒︒+︒=，223sin20sin20cos40sin404︒+︒︒+︒=，223sin25sin25cos35sin354︒+︒︒+︒=．变式2 某同学在一次研究性学习中发现，以下5个式子的值都等于同一个常数： ①22sin 13cos 17sin13cos17︒+︒-︒︒； ②22sin 15cos 15sin15cos15︒+︒-︒︒； ③22sin 18cos 12sin18cos12︒+︒-︒︒； ④22sin (18)cos 48sin(18)cos 48-︒+︒--︒︒； ⑤22sin (25)cos 55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒．(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．例14.3 设函数()2xf x x =+(x ＞0)，观察： 1()()2xf x f x x ==+， 21()(())34xf x f f x x ==+， 32()(())78xf x f f x x ==+， 43()(())1516xf x f f x x ==+，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且n ≥2时，1()(())n n f x f f x -=＝＿＿＿＿．解析 由2，4，8，16，…得：2n ；1，3，5，7，15，…，即为21n -，所以()(21)2n nnxf x x =-+．评注 在归纳猜想()n f x 的通项公式时，要认真分析每一项中的系数与对应的项数之间的关系． 变式1 0()cos f x x =，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，1()()()n n f x f x n N +'=∈，则2015()f x ＝( )．A ．sin x -B ．cos xC ．sin xD ．cos x变式2 已知数列{}n a 的第1项11a =，且11nn na a a +=+(n ＝1，2，…)，猜想a 2014＝＿＿＿＿＿． 例14.4 (2013湖北理14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝21122n n +， 正方形数 N (n ，4)＝n 2， 五边形数 N (n ，5)＝23122n n -， 六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ，… …可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝＿＿＿＿＿．解析：由N (n ，k )＝2k k a n b n +(k ≥3)，其中数列{}n a 是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{}n b 是以12为首项，12-为公差的等差数列，所以N (n ，k )＝21222k k n n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(k ≥3)，所 N (n ，24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10，24)＝11×102－10×10＝1000．变式1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数，他们研究过如图14－3所示的三角形数：图14－3将三角形数1，3，6，10，…记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测：(1)2012b 是数列{}n a 中的第＿＿＿项； (2)21n b -＝＿＿＿＿＿．(用k 表示)变式2 如图14－4所示，在圆内画一条线段，将圆分成两个部分；画两条线段，彼此最多分成4条线段，同时将圆分成4个部分；画3条线段，彼此最多分成9条线段，同时将圆分成7个部分；画四条线段，彼此最多分成16条线段，同时将圆分成11个部分．那么：(1)在圆内5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？同时将圆分割成多少部分？(2)猜想：圆内两两相交的n (n ≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？同时将圆分割成多少部分？图14－4 题型2 类比推理 思路提示两类对象具有某些类似特征，则可根据一类对象特征推理出另一类对象的特征．这里的类比有从方法(过程)进行类比，有从知识(结论)进行类比．我们可以从不同角度出发确定类比对象，其基本原则是要根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，其基本原则是要根据当前问题的需要，选择适当的类比对象如二维与三维(平面与空间)之间，椭圆与双曲线之间，等差数列与等比数列之间等．例14.5 当x R ∈，1x <时，有如下表达式：2111n x x n x+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=-，两边同时积分得：1111122222200011d +d +d ++d +d 1nx x x x x x x x x⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰，从而得到如下等式： 23111111111ln 22223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭．请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：23101211111112223212n nnn n n C C C C n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝＿＿＿＿＿．分析 利用导数与定积分的关系求解，还要注意所给式子的特点以及二项式定理的应用． 解析 设f (x )＝()()()231012111231n nn n n n C x C x C x C x n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+所以0122()(1)n nn n n n n f x C C x C x C x x '=+++⋅⋅⋅+=+．所以11111122001111113(1)d (1)1(10)12112112n n n n n f x x x n n n n -+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰， 即23110121111111131222321212n n nnnn n C C C C n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 变式1 通过计算可得下列等式：22－12＝2×1＋1； 32－22＝2×2＋1； 42－32＝2×3＋1； … …(n ＋1)2－n 2＝2×n ＋1．将以上各式分别相加，得：21(1)12(123n +-=⨯++…＋n )＋n ． 即1＋2＋3＋…＋n ＝(1)2n n +． 类比上述求法：请你求出12＋22＋32＋…＋n 2的值．变式2 已知点P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点，过点P 的切线方程的斜率可通过如下方式求解：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得22yy p '=，则p y y '=，所以动点P 的切线的斜率0p k y =．类似上述方法，求出双曲线2212y x -=在点P处的切线方程．变式3 阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+①sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-② 由①＋②得：sin()sin()2sin cos αβαβαβ++-= ③令A αβ+=，B αβ-=，则2A B α+=，2A Bβ-=， 代入③式得：sin sin 2sincos 22A B A BA B +-+=． (1)类比上述推理方法，根据两角和差的余弦公式，证明：cos cos 2sinsin 22A B A BA B +--=-．(2)若△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足cos2cos21cos2A B C -=-，试判断△ABC 的形状．例14.6 已知正三角形内切圆半径是高的13，把这个结论类比到正四面体中，类似结论应该是＿＿＿．解析 正三角形内切圆和正四面体内切球这两类对象的相似特征为“正三角形内切圆圆心到正三角形三边等距，正四面体内切球球心到正四面体四个面等距”，这就是类比转化的条件所在，如图14－5所示，由性质知正三角形内切圆圆心O 1也是正三角形的垂心，O 1在BC 边的高AD 上，连接O 1A ，O 1B ，O 1C ，△O 1AB ≌△O 1BC ≌△O 1AC ，11111133223ABC O BC S S BC AD BC O D O D AD ∆∆=⇒⋅=⨯⋅⇒=．如图14－6所示，类比正四面体ABCD 内切球球心O 2在四面体的高AH 上，连接O 2A ，O 2B ，O 2C ，O 2D ，O 2－ADC ≌O 2－ABC ≌O 2－ABD ≌O 2－BCD ，24A BCD O BCD V V --=，13BCD S AH ∆⋅＝2211434BCD S O H O H AH ∆⨯⋅⇒=．故类似的结论为：正四面体内切球半径是高的14．评注 设正三角形的边长为a ，高为h ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，则a ∶h ∶r ∶R ＝13∶33其中r ∶R ＝1∶2，即圆心将高线分成的线段比为1∶2，同理，设正四面体的棱长为a ，高为h ，内切球的半径为r ，外接球的半径为R ，则则a ∶h ∶r ∶R ＝1666，其中r ∶R ＝1∶3，即球心将高线分成的线段比为1∶3．有些平面中的定义、定理、性质可以类比到空间，在学习中可以通过类比去发现新问题．变式1 平面直角坐标系中，直线的一般方程为Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，圆心C (x 0，y 0)，半径r ＞0的圆的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，类比到空间直角坐标系内平面的一般方程为①＿＿＿，球心在C (x 0，y 0，z 0)，半径为r ＞0的球的方程为②＿＿＿＿＿．变式2 将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面部分分别为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任意两边中点的截面均称为斜面的“中面”．请仿照直角三角形以下性质：(1)斜边的中线长等于斜边长的一半；(2)两直角边边长的平方和等于斜边边长的平方； (3)斜边与两直角边所成角的余弦平方和等于1． 写出直角三棱锥相应性质(至少一条)：＿＿＿＿＿。