期公式为 T＝2π
l g.
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3．单摆的等时性：单摆的周期与摆球的 __质__量___、______振__幅__无关，其中与___振_幅____ 无关的性质叫摆的等时性． 四、用单摆测定重力加速度 由单摆周期公式可得 g＝4Tπ22l，如果测出单 摆的摆长 l、周期 T 就可以求出当地的重力 加速度．
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二、单摆的回复力 单摆的回复力是摆球的重力沿__圆__弧__切__线____方向 的分力，在摆角很小的情况下，单摆所受的回复 力与它偏离平衡位置的位移成__正__比____，方向总 指向__平__衡__位__置_____，因此单摆在摆角很小时做 ___简__谐_运__动_______，其振动图象遵从 ____正_弦__或__余__弦________函数规律．
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第四节 单 摆
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第 四 节 单 摆
课标定位 课前自主学案 核心要点突破 课堂互动讲练 知能优化训练
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课标定位 学习目标：1.理解什么是单摆及在什么情况下单摆的 振动是简谐运动． 2．知道单摆的周期跟哪些因素有关，了解单摆周期 公式，并能进行有关计算． 3．知道用单摆可测定重力加速度． 重点难点：1.单摆的周期公式及应用． 2．单摆回复力的推导及等效摆长与等效重力加速度 的计算．
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核心要点突破
一、对单摆模型的理解 1．运动特点 (1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动，在运动过 程中只要速度v≠0，半径方向都有向心力． (2)摆球以平衡位置为中心做往复运动，在运动过 程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都有回 复力．
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2．摆球的回复力
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(2)等效摆长：图 11－4－2 中甲、乙在垂直纸面方 向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为 l·sin α， 这就是等效摆长．其周期 T＝2π lsignα.图 11－4 －3 中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效； 乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效．
图11－4－2
图11－4－3
解析：选B.单摆运动是在一段圆弧上运动，因此单 摆运动过程中不仅有回复力，而且有向心力，即单 摆运动的合外力不仅要提供回复力，而且要提供向 心力，故选项A错误；单摆的回复力是重力沿圆弧 切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，故 选项B正确，D错误；单摆过平衡位置时，回复力 为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项 C错误．
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(2)等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状 态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况 下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时， 摆线所受的张力与摆球质量的比值． 例如图 11－4－4：此场景中的等效重力加速度 g′＝gsinθ.球静止在 O 时，FT＝mgsinθ，等效 加速度 g′＝FmT＝gsinθ.
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二、对单摆周期的理解 1．决定周期大小的因素 (1)摆长L. (2)当地的重力加速度g. (3)与摆球质量无关，在摆角小于5°的前提下， 与振幅无关． 2．摆长 L (1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是
从悬点到摆球球心的长度：即 L＝l＋d2，l 为摆线 长，d 为摆球直径．
图11－4－4
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特别提醒：(1)摆长L并不等于绳长，而是等于摆 球球心(质量均匀)到摆动圆弧的圆心的距离． (2)公式中的g不一定等于9.8 m/s2，尤其是单摆在 复合场中或斜面上摆动时，g值往往因情境而异．
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课前自主学案
一、单摆模型 细线的上端固定，下端系一小球，如果细线的 __质__量___与小球相比可以忽略；球的__直__径____与线 的长度相比也可以忽略；在摆动过程中细线的 __伸__缩_____可以忽略；与小球受到的重力及绳的拉 力相比，空气等对它的__阻__力____可以忽略，这样的 装置就叫做单摆． 单摆是实际摆的理想化模型，实验中为满足上述条 件我们尽量选择____质__量____大，___体__积____小的球 和尽量__细_____的线．
置，回复力F回＝0，与G1＝0相符．
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(3)单摆的简谐运动：在 θ 很小时(理论值为 5°)，
sinθ≈θ＝xl ，G1＝Gsinθ＝mlgx，G1 方向与摆球位移
方向相反，所以有回复力 F 回＝－G1＝－mlgx＝－kx. 因此，在摆角 θ 很小时，单摆做简谐运动，其振动 图象遵循正弦函数规律，图象是正弦或余弦曲线． 特别提醒：单摆的运动不一定是简谐运动，只有 在摆角较小的情况下才能看成简谐运动，理论上 一般θ角不超过5°，但在实验中，认为θ角不超过 10°即可．
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即时应用 (即时突破，小试牛刀) 1．下列有关单摆运动过程中的受力说法，正确 的是( ) A．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力 B．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的 一个分力 C．单摆经过平衡位置时的合力为零 D．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力
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三、单摆的周期
1．影响单摆周期的因素：实验表明，单摆振动的 周期与摆球____质__量__无关，在振幅较小时与 ___振__幅______无关，但与摆长有关，摆长 ___越_长____，周期越长． 2．单摆的周期公式：周期 T 与摆长 l 的二次方根
成正比，与重力加速度 g 的二次方根成反比，周
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3．重力加速度g (1)若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态， g由单摆所处的空间位置决定，即g＝，式中R为 物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位 置的高度的变化而变化．另外，在不同星球上M 和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只 是在地球表面附近时的取值．
(1)任意位置：如图11－4－1所示，
G2＝Gcosθ，F－G2的作用就是提供 摆球绕O′做变速圆周运动的向心
力；G1＝Gsinθ的作用是提供摆球 以O为中心做往复运动的回复力．
(2)平衡位置：摆球经过平衡位置 时，G2＝G，G1＝0，此时F应大
图11－4－1
于G，F－G的作用是提供向心力；因此在平衡位