最大公因数：有互质即停止 最小公倍数：两两互质才停
辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就 是所求的最大公约数．（开始用较大数除以较小数）
如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的
约数个数
1数的个数：对其分解质因数，将每个质因数的指数（次数）加1 后所得的乘积。
12-10 完全平方数（三）
例5、记S = (1×2×3×······n)＋(4k+3) ，这里n≥3. 当k在1至100之间 取正整数值时，有 几个不同的k，使得S是一个正整数的平方。
例6、一个房间中有100盏灯, 用自然数1, 2, …, 100编号, 每盏灯各有一个开关. 开始所有灯都不亮. 100 个人依次进入房间, 第1 个人进房间后 ,将编号为1的倍 数的灯的开关按一下, 然后离开；第2个人进入房间后, 将编号为2的倍数的灯 的开关按一下, 然后离开. 如此操作下去，问：第100个人离开房间后房间里哪 些灯还亮着？
12-13 带余除法（三）
例6、 1234567891011121314······20082009除以9，商的个位数字是 。
例7、用一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是多少?
12-14 余数定理（一）
余数三大定理 （1）和的余数=余数的和
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例6、一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那 么此数为几？
解：最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为9，由于9是 奇数，所以这两个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个 数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数。于是2是这个数第二小的 约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数 中不含3、4、5、6，所以这个数只能是14或98，其中有6个约数的是98．
12-4 质数与合数（四）
例6、两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数，比如由17、 19可得到一个四位数1719，由19、17也可得到一个四位数1917。已知 这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除，试写出所有这样 的四位数。
例7、如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的 差等于多少？
例4、一次考试，参加的学生中有 得优， 得良， 得中，其余的得差， 已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有多少人
例5、 有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙 每分钟走120米，丙每分钟走70米．已知操场跑道周长为400米，如果 三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人首次相遇？
例2、有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成 多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？
例3、两个数的最大公约数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54， 那么这两个数的和是多少 两个数的和是多少？
设这两个数为18a、18b，a与b互质。
12-7 因数与倍数（三）
判断一个数是否为质数的方法： （1）定义 （2）对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数K²， 再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那 么p就为质数.。
例如：149很接近144＝12×12，根据整除的性质149不能被2、3、5、 7、11整除，所以149是质数。
例6、从1～20中最多可以选取多少个数，使得取出的数中任意三个数 的和能被3整除？
12-17 同余定理（一）
同余定理：若a， b除以c的余数相同，那么， (a－b)能被c整除。 称a， b对于模c同余 “ a ≡ b mod c”
即有 c (a－b）
例1、（1）有一个大于1的整数，用它除300、 262、 205得到相同的 余数，求这个数。 （2） 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a，a+2， a+5，求这个数。
把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题１就可以叙述为：
从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少
种不同的排列方法？
ab, ac, ba, bc, ca, cb
问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少 个不同的三位数？
分析：解决这个问题分三个步骤： 第一步先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法； 第二步确定中间的字母，从余下的3个字母中取，有3种方法； 第三步确定右边的字母，从余下的2个字母中取，有2种方法。
第十二章 五年级 数论与组合
12-1 质数与合数（一） 质数：一个数除了1和它本身，没有别的因数，这个数叫做质数（也叫素数）。 合数：一个数除了1和它本身还有别的因数，这个数叫做合数 。
※常见100以内质数: 2、3 、5 、7 、11 、13 、17 、 19、 23、 29、 31、37 、41 、43 、47 、53 、59、 61、 67、 71、 73、 79、 83、 89、 97 共计25个
因数个数为3的自然数是质数的平方。
例1、从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多 少个？
12-9 完全平方数（二）
例2、一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？
例3、已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是 。
例4、已知自然数n满足：12！除以n得到一个完全平方数，则n的最小 值是
例4、在1995， 1998， 2000， 2001， 2003中，若其中几个数的和被9 除余7，则将这几个数归为一组. 这样的数组共有多少组？
12-16 余数定理（三）
例5、六张卡片上分别标上2357、 2367、 4143、 1419、 2485、 8465 六个数， 甲取4张，乙取1张，丙取1张。结果发现甲、乙二人各自手 中卡片上的数之和一个人是另一个人的8倍。求丙取的号码卡。
12-12 带余除法（二）
例3、已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10。那么这些自 然数共有______个。
例4、一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所 得到的商是余数的3倍，求这个自然数。
例5、在大于2009的自然数中，被57除后，商和余数相等的数共有多 少个？
分析：把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名，按照参加上午的活动在前， 参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？
第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任选1名，有3种选法. 第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法 根据分步计数原理：3×2=6 即共6种方法。

例2、用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽， 而且前一次所得的余数是后 一次所得的余数的2倍。如果这个数大于1， 求这个数。
例3、已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是a－1，a²，a³， 求该自然数。
12-18 同余定理（二）
例4、求73 ×109 ×3287 除以8的余数。
例7、能否找到这么一个数, 它加上24, 和减去30所得的两个数都是完 全平方数？
12-11 带余除法（一）
被除数÷除数＝商…余数 A÷B ＝ a······b（b＜ B）
⑴ 余数小于除数 ⑵ 被除数＝除数×商＋余数
例1、在一个除法算式中，如果商是16，余数是8，那么被除数与除数 之和最小是
例2、有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把 书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果 把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问： 第二组有多少人?
12-8 完全平方数（一）
完全平方数：一个自然数与自身相乘的乘积叫做完全平方数或平方数。
观察数表，体会完全平方数性质： （1）完全平方数的末位数字只能是0，1，4，5，6，9 （2）完全平方数除以5只能余0、1、4，除以3只能余0、1，除以4只能余0、1 （3）完全平方数分解质因数，成对出现。（偶指数） （4）完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
例如：1800＝2³×3²×5² 那么1800的因数的个数为（3+1）（2+1）（2+1）＝36个
*一个整数所有约数之和：对其分解质因数，将每个质因数依次从1加 至这个质因数的最高次幂求和，再将这些和相乘。
如：21000＝2³×3×5³×7，所以21000所有约数的和为：为 (1+2+2²+2³)×(1+3) ×(1+5+5²+5³) ×(1+7)＝74880
0与1不在此列！
相关概念：因数、倍数、质因数、互质、分解质因数
一些特殊数的分解： 111＝3×37；1001＝7×11×13；11111＝41×271；10001＝73×137； 1995＝3×5 ×7 ×19；1998＝2 ×3 ×3 ×3 ×37；2007＝3 ×3 ×223； 2008＝2 ×2 ×2 ×251；10101＝3 ×7 ×13 ×37
例1、 如果a，b均为质数，且3a+7b＝41，则a+b＝______.
12-2 质数与合数（二）
例2、从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质 数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位 数，其中可以读到的最大的数是多少？
例3、将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中 最大的质数是多少？
根据分步乘法计数原理，共有 4×3×2＝24 种不同的排法。如下图所示
有此可写出所有的三位数： 123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。