1 4
FPul
Mu
1 2
Mu
FPu
3 2
Mu
4 l
6M u l
.
Mu
FPu
A
C
B
Mu
极限状态的弯矩图
2 虚功法
A
Mu
1 Mu l/2
FPu
C 1
2 l/2
设破坏机构
B
令机构产生虚位移，C截面竖向位移和荷载FPu同向， 大小为δ。
1l/22 l 2214 l
列出刚体虚功方程： F Pu M u M u 0
FP
FPu
l/2
l/2
Mu
①图中简支梁随着荷载的增大，梁跨中弯矩达到极限弯矩Mu。
②跨中截面达到塑性流动阶段，跨中两个无限靠近的截面可以产生有
限的相对转角，因此，当某截面弯矩达到极限弯矩Mu时，就称该截面
产生了“塑性铰”。
③这时简支梁已成为机构，这种状态称为“极限状态”，此时的荷载
称为“极限荷载”，记作FPu。
第15章 结构的塑性分析与极限荷载
第17章 结构的极限荷载
.
§17-1 概述
弹性设计方法 没有考虑材料超过屈服极限后的这一部分承载力。事实
上，由塑性材料组成的结构当某一局部的σmax达到了屈服极 限时,结构还没破坏,还能承受更大的荷载。因而弹性设计有时 不够经济合理。 塑性设计方法
塑性分析考虑材料的塑性，按照结构破坏时的极限状态 来计算结构所能承受的荷载的极限值（极限荷载）。
100mm 20mm
解: A360m0m2
A 1A2A/218m 020 m
A2
等面积轴
90mm
A1
A1的面积形心距等面积轴45mm, A2的面积形心距等面积轴:
20mm
y . m m
Mu S(SS)S[A A.] SA [ .]SA .
26.K 7N 9 m .
塑性铰、极限荷载
Mu
FP增大
A
C
B
FP继续增大，第二个塑性铰出现在C 截面，梁变为机构。弯矩 增量图相应于简支梁的弯矩图（如图）。
Mu
FP达到极限值 FPu
M .
u
[例] 求梁的极限荷载FPu,截面极限弯矩为Mu。
解：计算极限荷载只需要考虑最后的破坏机构
结构在A、C截面出现塑性铰。 A
1 静力法
FP
C
B
l/2
l/2
sA1sA20
A1A2A/2
可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。
பைடு நூலகம்
由此，极限弯矩的计算方法: M u s(SS)
S、S分别为面 A、 积 A对等面积轴的静矩
可见，极限弯矩与外力无关,只与材料、截面几何形状 和尺寸有关。
.
[例]已知材料的屈服极限 s 240MPa，试求图示截面的
极限弯矩。
80mm
为可破坏荷载，常用FP+ 表示。
基本定理：
（1）唯一性定理：极限荷载FPu值是唯一确定的。
（2）极小定理：极限荷载是可破坏荷载中的极小者。
确定极限荷载的方法： 静力法——利用静力平衡求极限荷载的方法。 虚功法（机动法）——沿荷载方向假设单向破坏机构，
利用虚位移原理计算出极限荷载的方法。 多采用机动法。
该结构整体变为机构而破坏
结构局部变为机构而破坏。
不同结构在荷载作用下，成为机. 构，所需塑性铰的数目不同。
对于静定结构，只要一个截面出现塑性铰，结构就成为了 具有一个自由度的机构，丧失承载能力以至破坏。 超静定结构，具有多余约束，必须出现足够多的塑性铰， 结构才能成为机构，丧失承载能力以至破坏。
结构的极限受力状态应满足的条件（P273）：
FPuM u(ll)0
得:
FPu
6M u l
.
[例] 求梁的极限荷载，已知极限弯矩为Mu。
q
qu
A
C
B
l/2
l/2
A Mu
Mu
l
C 2
B
Mu
解：计算刚体虚功：
2
瞬变体系机构
l
W
yqudxMu
Mu
Mu
qu
(
l
l
)Mu
qul
Mu
虚功方程： qulM . u
qu
16M l2
u
【例】 AB段极限弯矩为 M u ，BC段极限弯矩为Mu。
⑴平衡条件：结构的整体或任一局部都能维持平衡； ⑵局限条件：任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩； ⑶单向机构条件：结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。
.
【例17.1 】 图示为矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载，试 求极限荷载。
FP
FPu
已知Mu
解：
FPul
Mu
FPu
Mu l
.
可破坏荷载： 对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，称
.
理想弹塑性模型
在塑性设计中，假设材料为理想弹塑 性材料，其应力与应变关系：加载时
s
A
B
材料为线弹性阶段和塑性流动阶段。
残余应变
s A
CB
o
ε
理想弹塑性模型
o
D
ε εP ε s
ε
当应力达到屈服应力后在C点卸载，卸载时材料为线弹
性的。当应力减小为零时，应变为εP，εP是塑性应变，又
称残余应变。
.
塑性铰和普通铰有区别。塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大 的方向发生有限的转角，卸载时消. 失。
都江堰市都江之春大厦 底层柱顶塑性铰
.
侧移机构
柱端塑. 性铰比较严重
破坏机构 结构由于出现足够多的塑性铰,成为机构(几何可变体系), 失去继续承载的能力,称为破坏机构。 破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。
§17-2 极限荷载、塑性铰和极限状态
屈服弯矩、极限弯矩 以理想弹塑性材料的矩形截面纯弯曲梁为例：
M
M
随着M的增大，梁截面应力的变化为：
b
s
s
h b
s
h
y0 y0
s
.
a)
s b)
s c)
b
s
s
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
图a）弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限σs ，弯矩M
为：
MS
bh2 6
.
§17-3 超静定梁的极限荷载
一．单跨超静定梁的极限荷载
为了求得极限荷载，需要确定结构的破坏形态，确定塑性铰 的位置及数量。塑性铰首先出现在弯矩最大的截面。
FP
A
C
B
(a)
l2
C l 2
MA FPl
(b)
FP弹性阶段
MC 352FPl
弹性阶段，A截面弯矩最大。
.
塑性阶段，A截面形成第一个塑性铰。
求图示梁的极限荷载。
A
FP
B
D
C
l/3
l/3
l/3
解:出现两个塑性铰时梁成为破坏机构。
由于AB段、 BC段截面极限弯矩不同，故塑性铰不仅 可以出现在产生最大弯矩的A、D截面，也可能出现 在截面改变处B，可能的破坏机构有两种。
s
→屈服弯矩
图b）弹塑性阶段，y0部分为弹性区,称为弹性核。
图c）塑性流动阶段，y0→0。相应的弯矩M为：
Mu
bh
s
→极限弯矩
是截面所. 能承受的最大弯矩。
极限弯矩的计算
Mu
bh
s
设塑性流动阶段截面上受压区和受拉区的面积分别为A1
和A2，并且此时受压区和受拉区的应力均为常量，又因为
梁是没有轴力的，所以: