s A1 s A2 0
A1 A2 A / 2
中性轴亦为等分截面轴。 由此可得极限弯矩的计算方法
M u s A1a1 s A2a2 s (S1 S2 )
Mu 1.5 Ms
---塑性极限弯矩(简称为极限弯矩)
S1、S2为A1、A2对该轴的静矩。 距离， 式中 a1、a2为A1、A2的形心到等分截面轴的
max [ ]
s
k
Pu 塑性设计时的强度条件： P W [ P] k
计算假定： 材料为理想弹塑性材料。


s
s
§2. 极限弯矩、塑性铰和破坏机构
M M
h b
1.弹性阶段
max s
E yk Eyk
---应力应变关系
---应变与曲率关系
P P
2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。 证明：设同一结构有两个极限荷载 Pu1 和 Pu 2 。
Pu 2 看成可接受荷载。 若把 Pu1看成可破坏荷载，
Pu1 看成可接受荷载。 若把 Pu 2看成可破坏荷载，
故有
Pu1 Pu 2
Pu1 Pu 2 Pu1 Pu 2
P P
或列虚功方程
A
B
RB
B

A
C
Mu
2
P
C
l/2
3Pl / 16
A
l/2
P
C
B
l Pu M u 2 M u 0 2 6 Pu M u l
极限平衡法
5Pl / 32
A
C
P
B
P l / 4
P u P P 6M u / l
逐渐加载法（增量法）
2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。 证明：设同一结构有两个极限荷载 Pu1 和 Pu 2 。
Pu 2 看成可接受荷载。 若把 Pu1看成可破坏荷载，
Pu1 看成可接受荷载。 若把 Pu 2看成可破坏荷载，
故有
Pu1 Pu 2
Pu1 Pu 2 Pu1 Pu 2
3.上限定理（极小定理）：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。
3Pl / 16 M u
A
P
C
P 16M u / 3l
再增加荷载
B
l/2
3Pl / 16
A
l/2
P
C
B
M C 5Pl / 32 Pl / 4
令
MC Mu
M u 5Pl / 32 Pl / 4
5Pl / 32
A
C
将P代入，得
P
B
5 16 M u M u l Pl / 4 32 3l
证明： 由于极限荷载 P u 是可接受荷载，由基本定理
P P u
4.下限定理（极大定理）：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。
证明： 由于极限荷载 P u 是可破坏荷载，由基本定理
P P u
定理的应用：
极小定理的应用
穷举法： 列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏机 构对应的可破坏荷载，其中最小者既是极限荷载。 试算法： 每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破坏 荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可 破坏荷载既为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构 继续运算。 例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。 解：1.用穷举法求解 共有三种可能的破坏机构
y
由前面例题可见:若分析出塑性铰的位置，由结构的极限状态的平衡即 可求出极限荷载。 同时也可推知超静定结构的极限荷载与结构的温度变化、支座移动等 因素无关。
§5. 比例加载时判定极限荷载的定理
比例加载---作用于结构上的所有荷载按同一比例增加，且不出现 卸载的加载方式。
P 1 1 P
P2 2 P
1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。
P P
证明： 取任一可破坏荷载 P ，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程

P M ui i
i 1 n
n
取任一可接受荷载 P ，在与上面相同虚位移上列虚功方程

P M i i
i 1
Mi Mui
80 mm
A 0.0036m 2 A1 A2 A / 2 0.0018 m2
A1形心距下端0.045m, A2形心距上端0.01167m, A1与A2的形心距为0.0633m.
M u s (S1 S2 ) A s 0.0633 27.36 kN.m 2
中性轴亦为等分截面轴。 由此可得极限弯矩的计算方法
M u s A1a1 s A2a2 s (S1 S2 )
例：已知材料的屈服极限 解:
S1、S2为A1、A2对该轴的静矩。 距离， 式中 a1、a2为A1、A2的形心到等分截面轴的
s 240MPa ，求图示截面的极限弯矩。
M u 19.646kM.m
梁中最大弯矩为
A
P
80 mm
B
M max Pl / 4
令 M max M u ，得
l/2
l/2
20 mm
4 Pu 4M u / l 19.646 19.646 kN 4
§4. 单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。 A截面先出现塑性铰，这时 M A
1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。
证明： 取任一可破坏荷载 P ，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程

P M ui i
i 1 n
n
取任一可接受荷载 P ，在与上面相同虚位移上列虚功方程

P M i i
i 1
Mi Mui
P P
P 2M u / 3l
例:求图示等截面梁的极限荷载.已知梁的极限弯矩为Mu。 解: 梁中出现两个塑性铰即为破坏机构，根据弹性 A 分析，一个在A截面，设另一个在C截面。
q
B
l 1 l M A 0 RB l (qu l 2 M u ) qu Mu 1 A 2 M R x q x M 0 C B u C 2 ql M 1 ( u u ) x qu x 2 2 l 2 dM C M 0 因为 C 是最大弯矩， dx qu l M u x ( 2 1)l 0.4142 l qu x 0 2 l 11 .66 2M u qu Mu qu 2 l l (l 2 x)
l/3
l/3 l/3
Mu Mu
D
C
A
2l l y C y 3 3 D A C 9y / 2l
A
2M u
P
B
列虚功方程
A A
2M u
Pu
Mu
C
D
C
P uy 2M u A M u D 0 3 9 Puy 2 M u y M u y 0 2l 2l 15 Pu Mu 2l
A
唯一性定理的应用
P
B
P
C
D
l/3
l/3
l/3
例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。 解：1.用穷举法求解 共有三种可能的破坏机构：
A
P
B
P
C
D
（1）A、B出现塑性铰

l l P 2 P M u 2 M u 3 0 2 3 3 5 P Mu l 2l / 3
P1
q1
q2
P2
q1 1P q2 2 P
求极限荷载相当于求P的极限值。
结构处于极限状态时，应同时满足下面三个条件： 1.单向机构条件； 2.内力局限条件； 3.平衡条件。 可破坏荷载--- 同时满足单向机构条件和平衡条件的荷载。 P 可接受荷载--- 同时满足内力局限条件和平衡条件的荷载。 P 极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。 比例加载时关于极限荷载的定理：
x 2 2lx l 2 0
C
B
Mu
x
RB
x (1 2 )l
例:求图示变截面梁的极限荷载.已知AB段的极限弯矩为2Mu,BC段为Mu 。 P 解: 确定塑性铰的位置：
A B
若B、D出现塑性铰，则B、D两截面的弯矩 为Mu，M A 3M u 这种情况不会出现。 若A出现塑性铰，再加荷载时，B截面弯矩 减少D截面弯矩增加，故另一塑性铰出现于 3M u D截面。
---应力与曲率关系
线性关系
max s
M ydA EIk ---弯矩与曲率关系 A
bh2 Ms s 6
---弹性极限弯矩(屈服弯矩)
M
M
s
h
bh2 Ms s 6
b
s2.弹塑性阶段 中性轴附近处于性状态.处于弹性的部分称为弹性核.
Ms ks 2 M [3 ( ) ] 2 k
ks M 3 2 或 k Ms
3.塑性流动阶段
---弯矩与曲率关系
非线性关系
M
bh2 Mu s 4
Mu 1.5 Ms
---塑性极限弯矩(简称为极限弯矩)
M
s
h
s
y0 y0
s s
bh2 Ms s 6
b
s
s
极限弯矩与外力无关,只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。 设截面上受压和受拉的面积分别为 A1 和 A2 ，当截面上无轴力作用时
P l / 4
逐渐加载法（增量法）
P 2M u / 3l
P u P P 6M u / l