,
T n lT ˆmnld m rE n
论文的结构和主要内容
上面的具体计算十分复杂，但是如
果用维里定理，问题就十分容易了。根
据题意我们可以知道势能是的 n 1齐次
函数，所以
2T U
,
又因为总能量 EnTUT,
因此
U2T2En .
即平均势能为负值，并且为总能量
的两倍，由于平均动能一定是负值，这
论文的结构和主要内容
3.1.2示例对比分析
在求解一维谐振子问题中的 x 2 、p 2 ，
n
n
以及 xp 时，如果利用量子力学中求期
望值的方法，那么，我们就要将已知的
哈密顿量带入到线性谐振子的本征函数，
即
1
nx1 22nn!2e1 22x2Hnx,
m
令 ，Hˆ mx2 ，此处利用费曼海尔曼定
理，就可以得到
E nn1 2mx2 n
对上式化简得
x2 n n12m
论文的结构和主要内容
3.2费曼-海尔曼定理解氢原子中一些问 题 3.2.1典型示例的选取
在量子力学中，由于氢原子问题有 解析解，更简单、更实用，因此它的应 用十分广泛、重要。所以，在此选择它 作为示例。
费曼-海尔曼定理和维里定理 的应用
提纲
一 选题的目的、意义和要完成的任务 二 论文的基本框架和主要内容 三 完成论文写作存在的问题及收获
一、选题的目的、意义和要完成的任务
费曼-海尔曼定理和维里定理的应用极 其广泛, 在量子力学中，处理问题也十分 简便，可惜在各种教材中, 只是轻轻带过, 很少充分论述。
论文的结构和主要内容
4.2库仑场问题
若库仑场势能为 ，如 Ures2
es2
T
x2y2z2
果我们通过氢原子定态薛定谔方程求解，
则氢原子的能级为负值，即 , En2e2ns42 2ae0s2n2
则平均动能一定是正值。因为总能量为负
值，所以，U T .即
U n le r m s 2 n d l m R n 2 r l Y lm , 2 e r s 2 r 2 d r e s 2 d 0 R n 2 r r l d a e 0 n s 2 2 r 2 E n
所以，本文将根据他们的定义，列举 具有代表性的例子来向大家介绍费曼-海尔 曼定理和维里定理的应用。
二、论文的结构和主要内容
2、维理 定理
3、费曼-海尔曼 定理的应用
1、费曼-海尔曼 定理
4、维里定理 的应用
5、小结
论文的结构和主要内容
1费曼-海尔曼定理
1.1费曼-海尔曼定理的概述 费曼-海尔曼定理又称费曼-海尔曼
1
Z
r n n2a0
论文的结构和主要内容
4维里定理的应用
4.1对于谐振子问题的求解 设谐振子的势能为 U 1 2x2 ,
2
如果用量子力学求平均值的公式，
即 FFd,
可以求出谐振子的基态能量值为
则总能量
,
T0 4

U0 4

E0T0 U0 2
而这正是谐振子的零点能。

之中，并且应用量子力学求平均值的公 式，即
论文的结构和主要内容
FFd
1
nx1 22nn!2e1 22x2Hnx,
m

来求解，这其中所涉及到的积分问题十 分复杂，计算过程也相当的困难，这样 想要获得正确的解就需要扎实的计算能 力和耐心。
论文的结构和主要内容
论文的结构和主要内容
3费曼-海尔曼定理的应用
3.1用费曼-海尔曼定理求某些量的平均值 3.1.1典型示例的选取
在量子力学领域中，一维谐振子在量 子力学中是一个重要的物理模型，一维谐 振子问题是个基本的问题，所以，我对其 中的一些问题，分别利用量子力学中的普 遍方法和费曼-海尔曼定理来解决，并进 行对比。
论文的结构和主要内容
3.3.2示例对比分析
质量为，电荷为- 的电子，在电荷为
的原子核的库伦场中运动，忽略原子核的运动，
求1 r
，1
n
r2
，1
n r3
。
n
在已知哈密顿量和能量的情况下，
若我们选Z为参变量，则: H e2 1
z n
rn
由费曼-海尔曼定理: 则有：
H En z n z
论文的结构和主要内容
2维理定理
2.1维里定理的证明 2.1.1证明方法的选取
维里定理的证明方法十分多，例如： 应用泊松括号的性质和平均值的普遍公 式来证明、应用海森堡运动方程和矩阵 法证明、以及应用变分法证明等等。
论文的结构和主要内容
最终导出了维里定理的表达式为：
2Tr V
从上面的式子可以看出，维里定理非 常简洁的给出了系统平均动能和平均势能 之间的关系，如果知道了系统的平均动能， 可以利用它求得平均势能，反之亦然。
样总能量就为负值。
三、完成论文写作存在的问题及收获
本篇论文只是具体从几个方面介绍了 费曼-海尔曼定理和维里定理的一些应用， 并没有全面的论述它们所有的应用。
但是，通过撰写本篇论文，使我更深 入、细致的学习费曼-海尔曼定理和维里 定理及其应用，使我体会到他们的重要性， 因此对我的帮助很大。
论文的结构和主要内容
但是如果要求第一激发态或更高激 发态的平均动能和平均势能，以及它们 之间的关系时，用量子力学求平均值的 方法就显得很复杂了，如果我们改用维 里定理，则方便得多。由题意知此时的 势能U是位矢x的2次齐次函数，由维里定 理立即可以得出 T U ，即谐振子的平均 动能等于平均势能，而且它不仅对基态 成立，而且对任何激发态都成立。
关系，发表于30年代后期。它的应用极 其广泛，即 分麻烦，但是用费曼-海尔曼定理就简 单的多了。
论文的结构和主要内容
1.2费曼-海尔曼定理的证明
对于费曼-海尔曼定理的证明，我引
用了曾谨言的《量子力学》中的方法。
设定了某量子体系的束缚态的能级,以及
相应的归一化波函数，并对他们所以满
足的式子
Hn Enn
进行了求导、求标积的计算，最后又利 用了哈密顿算符的厄米性以及波函数的 归一化特性，导出了费曼-海尔曼定理。
论文的结构和主要内容
费曼-海尔曼定理的表达式为：
n,H nEn
从上面的式子中我们就可以看出， 我们可以利用这个式子求解某些力学量 的平均值或是它的能量等。因此，在后 面的应用中，我举了这些方面具有代表 性的例子。