相互独立，于是 Z 2 ~ c 2 (1) ，从而
c2 n 1 = : F (n,1) . 故选 (C) . X 2 Z2 1
三、 （本题满分 10 分） 过坐标原点作曲线 y = ln x 的切线， 该切线与曲线 y = ln x 及 x 轴围成平面图形 D . (1) 求 D 的面积 A ； (2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V . 解 (1) 设切点的横坐标为 x0 ，则曲线 y = ln x 在点 ( x0 , ln x0 ) 处的切线方程是
2
有 a2 =
p p 2 p 2 1 x cos 2 xdx = [ x 2 sin 2 x - ò 2 x sin 2 xdx] ò 0 0 p 0 p
p 1 p [ x cos 2p 0 - ò cos 2 xdx] = 1 . 0 p æ1 ö æ1 ö æ1ö æ1 ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç (4) 从 R 2 的基 a 1 = ç , a = 到基 b = , b = 2 1 2 ç 0÷ ç - 1÷ ç1÷ ç 2÷ ÷ 的过渡矩阵为 è ø è ø è ø è ø æ2 3 ö 【答】 应填 ç ç - 1 - 2÷ ÷. è ø
s s za , X + za ) ，由于 za = z0.025 ， 1 - 0.025 = 0.975 = F (1.96 ) ，数据代入， n 2 n 2 2 1 1 得置信区间为 (40 ´1.96, 40 + ´ 1.96) = ( 39.51, 40.49 ) 16 16
(X 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） (1) 设函数 f ( x) 在 (-¥,+¥) 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f ( x) 有 (A) 一个极小值点和两个极大值点 (B) 两个极小值点和一个极大值点 (C) 两个极小值点和两个极大值点 (D) 三个极小值点和一个极大值点 【答】 应选 (C). 【解】 在 y 轴左侧，因 f ¢( x) 由正变负再变正，故 f ( x ) 由增变减再变增，从而有一个极 大值点和一个极小值点；而在 y 轴右侧，因 f ¢( x) 由负变正，故 f ( x) 由减变增，从而有 一个极小值点；又在点 x = 0 左右领域， f ¢( x) 由正变负， f ( x) 由增变减，且 f ( x) 在点
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因此所求旋转体的体积为 V = V1 - V2 = p e2 - p (e - e y )2dy =
2 (A) Y ~ c ( n)
1 ，则 X2 (B) Y ~ c 2 ( n - 1) (C) Y ~ F ( n ,1) Z
(D) Y ~ F (1, n)
【答】 应选 (C) . 【解】 因 X ~ t (n) ，故 X =
c n
2
~ t ( n ) ，其中 Z ~ N (0,1) ， c 2 ~ c 2 (n) ，且 Z 与 c 2
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(B) 当 r > s 时，向量组 II 必线性相关 (D) 当 r > s 时，向量组 I 必线性相关
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① 若 Ax = 0 的解均是 Bx = 0 的解，则秩 ( A) ³ 秩 ( B ) ； ② 若秩 ( A) ³ 秩 ( B ) ，则 Ax = 0 的解均是 Bx = 0 的解； ③ 若 Ax = 0 与 Bx = 0 同解，则秩 ( A) = 秩 ( B ) ； ④ 若秩 ( A) = 秩 ( B ) ，则 Ax = 0 与 Bx = 0 同解 以上命题中正确的是 (A) ① ② (B) ① ③ (C) ② ④ (D) ③ ④
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2003 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题详解及评分参考
数 学（一）
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）
1
(1) lim(cos x)
x ®0
l n (1+ x 2 ) 1 2
=
.
【答】 应填 e
-
=
.
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【解】 设过度矩阵为 P ，则 (a1 a 2 ) P = ( b1 b 2 ) ，因而
æ1 1 ö æ 1 1 ö æ 1 1 öæ 1 1 ö æ 2 3 ö ÷ P = (a1 a 2 ) ( b1 b 2 ) = ç ÷ ç ÷ =ç ÷ç ÷ =ç ÷. ç è 0 -1ø è 1 2 ø è 0 -1øè 1 2 ø è - 1 - 2 ø ì 6 x, 0 £ x £ y £ 1 ， (5) 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) = í 其他 î0, 则 P{ X + Y £ 1} = .
.
1 ln cos x
2
【解】 lim(cos x)
x ®0
l n (1+ x )
= lim e
x ®0
ln 1+ x 2
(
) ，而
lim
x ®0
ln cos x ln(1 + cos x - 1) cos x - 1 1 1 = lim = = - ，所以原式= 2 2 2 0 x ® x ln(1 + x ) 2 x e
【答】 应选 (B) . 【解】 若 Ax = 0 的解均是 Bx = 0 的解，则 Ax = 0 的解空间的维数不超过 Bx = 0 的解 空间的维数，即 n - rA £ n - rB ，亦即 rA ³ rB ，故①正确；同理③也正确.又由两个解空 间的维数的大小关系， 推不出两个齐次线性方程的解集是否有包含关系， 所以②不成立, 同理，④也不成立. 故选 (B) . (6) 设随机变量 X ~ t (n) (n > 1) ， Y =
(A) 点 (0,0) 不是 f ( x, y ) 的极值点 (B) 点 (0,0) 是 f ( x, y ) 的极大值点 (C) 点 (0,0) 是 f ( x, y ) 的极小值点 (D) 根据所给条件无法判断点 (0,0) 是否为 f ( x, y ) 极值点 【答】 应选 (A) . 【解】 因 lim
cnbn cnbn lim = n ®¥ 存在，与条件矛盾. n ®¥ b lim bn n
n ®¥
因此 lim bn cn 存在，故应选 (D) .
n ®¥
(3) 已知函数 f ( x, y ) 在点 (0,0) 的某个领域内连续，且 lim
x ®0 y ®0
f ( x, y ) - xy = 1 ，则 (x2 + y 2 )2
n ®¥
n ®¥
n ®¥
只是在 n 充分大时才成立，而不是对任意 n 成立，故因予排除； 对于选项(C)，由于 lim a n c n 是 0 × ¥ 型，故其极限可能不存在，也可能存在，故也排除；
n ®¥
对于选项(D)，假若 lim bn cn 存在，则有 lim cn = lim
n ®¥ n ®¥
-1
-1
【答】 应填 1 / 4 . 【解】 P{ X + Y £ 1} =
x + y £1
òò
f ( x, y )dxdy = ò 2 dx ò
0
1
1- x
x
6 xdy =
ò
1 2 0
6 x (1 - 2 x ) dx =
1 . 4
(6) 已知一批零件的长度 X （单位：cm）服从正态分布 N ( m ,1) ，从中随机地抽取 16 个零 . 件，得到长度的平均值为 40（cm） ，则 m 的置信度为 0.95 的置信区间是 （注：标准正态分布函数值 F (1.96) = 0.975， F (1.645) = 0.95 ） 【答】 应填 （ 39.51, 40.49） . 【解】 记 X 为样本均值，置信度为 0.95（即 a = 0.05 ）的双侧置信区间为
x ®0 y ®0
f ( x, y ) - xy = 1 ，故 lim[ f ( x, y ) - xy ] = 0 ，即 f (0, 0) = 0 . x ®0 (x2 + y 2 )2 y ®0
又记 a =
f ( x, y ) - xy - 1 ，知 lim a = 0 ，且 f ( x, y ) = xy + (a + 1)( x 2 + y 2 ) 2 . 2 2 2 x ®0 (x + y ) y ®0
2 2Βιβλιοθήκη -2 x0 -2 y0 1 = = ，从而 x0 = 1, y0 = 2 . 2 4 -1
.
(3) 设 x =
2
åa
n =0
¥
n
cos nx (-p £ x £ p ) ，则 a2 =
【答】 应填 1. 【解】 由题设， an 是偶函数 x 在区间 [ -p , p ] 上周期为 2 p 的傅里叶系数，取 n = 2 ，
(A) a n < bn 对任意 n 成立
(B) bn < c n 对任意 n 成立
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(C) lim a n c n 极限不存在
n ®¥
(D) lim bn c n 极限不存在
n ®¥
【答】 应选 (D) . 【解】 对于选项(A)和(B)，尽管据题设有， lim an < lim bn < lim c n ，但极限的保号性