椭圆的标准方程
—211尚美课堂教学案例
211课堂教学模式要求20分钟教师讲授,10分钟互动交流,10分钟练习。
211教学模式”的实践,能更好地促进教师在课堂教学中合理分配时间,优化课堂结构,精心设计课堂,优化教学过程,凸显学生主体地位,发挥教师主导作用,提高课堂教学的实效性,打造高效课堂,让学生在课堂上真正做到自主学习、合作学习、探究学习,本节课按照211课堂教学模式设计。
1. 教学目标
(1)掌握椭圆的定义;
(2)理解椭圆标准方程的推导过程,掌握椭圆标准方程的两种形式,会运用待定系数法求椭圆的标准方程;
2. 教学重难点
重点:椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式;
难点:椭圆的标准方程的建立和推导
3. 教材分析
平面解析几何问题,就是借助建立适当的坐标系,把几何问题代数化,运用代数的方法来研究几何问题,它沟通了数学内数与形、代数与几何之间的联系。
椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线是本章的重点,这几种曲线研究的问题基本一致,方法相同,所以本章重点在于研究椭圆的方程及其性质,通过求椭圆的标准方程,使学生掌握这类曲线轨迹方程的推导过程。
4. 学情分析
知识方面
(1)学生已经学习了直线和圆的方程,并初步熟悉了求曲线方程的一般方法和步骤。
(2)根据日常生活中的经验,学生对椭圆这种几何图形有了一定的认识。
学习中的困难
(1)我所带班级学生理解问题的能力稍显不足,对数学普遍感觉较难。
(2)虽然学生对椭圆这种几何图形有了一定的认识,但还没有上升到概念的水平。
(3)学生计算能力较弱,椭圆标准方程的推导过程中的复杂运算对于他们有一定难度。
5. 教学方法
在211教学模式下,要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者,使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程。
根据本节内容的特点,教学过程中可充分发挥信息技术的作用,用几何画板的动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持。
6. 教学过程
1、情景引入
通过PPT 向学生展示关于椭圆图形的图片,请学生举出生活中常见的椭圆图形,通过举例和展示生活中椭圆形的图片,让学生认识到椭圆和日常生活关系密切。
2、 椭圆的概念
文字语言:平面内与两个定点
的距离之和等于定长(大于)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点
叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
数学语言: 课堂讨论:若212F F a <或212F F a =,点M 的轨迹是什么图形?
例1 ① 已知
、是定点,,动点满足,则点M 的轨迹是( )
A .椭圆 B. 直线 C.圆 D.线段
② 已知
是两个定点,,以线段为一边画三角形,试问满足条件“的周长为20”的顶点的轨迹是什么样的图形?为什么?
设计意图:通过这两道题的练习,学生进一步加深对椭圆概念的理解。
3、 椭圆的标准方程
我们已经知道,在直角坐标平面上直线和圆都有相应的方程,从而就可以用代数的方法来研究它们的几何性质、位置关系等。
那么如何求椭圆的方程呢?
课堂提问:求圆的方程的一般步骤是什么?
① 建系设点 ② 列出等式 ③ 化简 ④证明
① 建系设点:
课堂讨论:根据简单和优化的原则,如何建立平面直角坐标系?
以两定点
、所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立直角坐标系(如图).设
.,为椭圆上的任意一点,则、.又设与、的距离的和等于
.
② 列出等式
用含有动点坐标的方程表示:
.
③ 化简:
移项后两次平方法
令)0(222>-=b c a b 则有)0(122
22>>=+b a b y a x ……………①
若焦点
、在y 轴上,则椭圆的方程为)0(1x y 2222>>=+b a b
a ……………② ④证明(略) 上述两个方程① 和② 都是椭圆的标准方程.
注:方程的化简过程中,鉴于班级学生计算能力较弱及课堂时间问题,只让学生化简其中的几步!
例2 根据下列条件,求椭圆的标准方程。
(1) 两个焦点的坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于
8;
(2) 两个焦点的坐标分别是(0,-4),(0,4),并且椭圆经过点(
) (3) 已知椭圆的焦距是6,椭圆上的一点到两焦点距离的和等于10
设计意图:课堂上先让学生做,再由老师讲解,通过几道题使学生理解椭圆的焦点位置与椭圆标准方程的关系(注意焦点在轴还是在轴上),掌握运用待定系数法求解椭圆标准方程的方法,题目中涉及分类讨论数学思想,达到拓展知识、提高能力的目的。
课后思考:
(1)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,过F 1的直线交椭圆于M 、N 两点,则
的周长为 ;
(2)若方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是 .
归纳小结:学生小结归纳,不足的地方老师补充说明。