单级倒立摆稳定控制实验
一．实验目的
1.了解单级倒立摆的原理与数学模型的建立；
2.掌握LQR控制器的设计方法；
3.掌握基于LQR控制器的单级倒立摆稳定控制系统的仿真方法。

二．实验内容
图1 一级倒立摆原理图
一级倒立摆系统的原理框图如上所示。

系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分，组成了一个闭环系统。

光电码盘1将连杆的角度、角速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈回控制卡。

计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策，并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，驱动电机转动，带动连杆运动，保持摆杆的平衡。

在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图2所示。

图2 直线一级倒立摆系
统
其中：
M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置
φ 摆杆与垂直向上方向的夹角
θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。

其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。

图3 （a ）小车隔离受力图； （b ） 摆杆隔离受力图
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
Mx F bx N =--&&& (1)
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
()2
2sin d N m x l dt
θ=+ (2)
即：2cos sin N mx
ml ml θθθθ=+-&&&&&
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：
()2
2cos d P mg m l dt
θ-= (3)
即： 2sin cos P mg ml ml θ
θθθ-=--&&& 力矩平衡方程如下：
sin cos Pl Nl I θθθ
--=&& (4) 注意：此方程中力矩的方向，由于θπφ=+，cos cos φθ=-，sin sin φθ=-故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：
()2
sin cos I ml mgl mlx θ
θθ++=&&&& (5) 设θπφ=+（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位为弧度）相比很小，即1φ<<，则可以进行近似处理：cos 1θ=-，sin θφ=-，
2
0d dt θ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，用来u 代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下： ()()2I ml mgl mlx
M m x bx ml u φφφ⎧+-=⎪⎨++-=⎪⎩&&&&&&&
&& (6) 系统状态空间方程为:
X
AX Bu y CX Du
⎧=+⎨
=+⎩& (7) 即：
()()()()()()()()()22
22
2
2
222
2
010
000000
1000I ml b I ml x x m gl x x I M m Mml I M m Mml I M m Mml u mgl M m ml mlb
I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-++⎡⎤⎡⎤⎢
⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦-⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦⎣
⎦
&&&&&&&&
10000
00100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
&& (8) 2. 倒立摆系统LQR 控制器设计与仿真
最优控制理论主要是依据庞德里亚金的极值原理，通过对性能指标的优化寻找可以使目标极小的控制器。

其中线性二次型性能指标因为可以通过求解Riccatti 方程得到控制器参数，并且随着计算机技术的进步，求解过程变得越来越简便，因而在线性多变量系统的控制器设计中应用较广。

利用线性二次型性能指标设计的控制器称作LQR 控制器。

前面我们已经得到了直线一级倒立摆系统的比较精确的动力学模型，下面我们针对直线型一级倒立摆系统应用LQR 法设计与调节控制器，控制摆杆保持倒立平衡的同时，跟踪小车的位置。

实际系统的模型参数如下:
M 小车质量 1.096 Kg m 摆杆质量 0.109 Kg b 小车摩擦系数 0 .1N/m/sec
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.2 5m I 摆杆惯量 0.0034 kg*m*m T 采样频率 0.005秒
注意：在进行实际系统的MATLAB 仿真时，请将采样频率改为实际系统的采样频率。

请用户自行检查系统参数是否与实际系统相符，否则请改用实际参数进行实验。

由倒立摆系统状态方程：
100000.1818 2.67270 1.181820001000.454531.1818
0 4.5455x x x x u φφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
&&&& 10000
00100x x x y u φφφ⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
&& (9)
应用线性反馈控制器，控制系统结构如图4。

图中,R 是施加在小车上的阶跃
输入，四个状态量x ，x &，φ，φ&分别代表小车位移、小车速度、摆杆位置和摆杆
角速度，输出[]T
y x φ=包括小车位摆杆角度。

设计控制器使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会置和摆动，然后仍然回到垂直位置，小车可以到达新的指定位置。

系统的开环极点可以用Matlab 程序求出。

开环极点为0，-0.1428，5.5651，-5.6041，可以看出，有一个极点5.5651位于右半S 平面，这说明开环系统不稳定。

假设全状态反馈可以实现（四个状态量都可测），找出确定反馈控制规律K 。

用Matlab 中的lqr 函数，可以得到最优控制器对应的K 。

lqr 函数允许选择两个参数(R 和Q )，这两个参数用来平衡输入量和状态量。

最简单的情况是假设R=1，*Q C C '=.当然，也可以通过改变Q 矩阵中的非调节控制器以得到期望的响应。

图4 控制系统结构
三． 实验代码
A=[0 1 0 0 ;0 -0.1818 2.6727 0;0 0 0 1;0 -0.4545 31.1818 0];
B=[0;1.18182;0;4.5455]; C=[1 0 0 0;0 0 1 0]; D=[0;0];
Q=[1 0 0 0;0 0 0 0;0 0 1 0;0 0 0 0]; R=2;
x0=[2;0;-3;0]; K=lqr(A,B,Q,R);
csys=ss(A-B*K,B,[],[]); [y,t,x]=initial(csys,x0); Plot(t,x)
四．实验数据与处理
由图可知，系统超调量不大，但上升时间与调节时间偏大。

调节Q11和Q33（实际上是增大两个参数）可以改善系统的稳定性与动态特性，使得超调量进一步减小，调节时间与稳定时间也减小。

限于实验时间的不足，此处不再列举进一步优化结果。

五．实验小结
本次实验建立了单级倒立摆稳定控制系统，利用LQR控制器优化控制结果。

再利用MATLAB进行仿真，得到了单级倒立摆的各状态量的阶跃响应曲线，再根据阶跃响
应曲线对LQR控制器的控制参数进行修改从而优化了系统控制效果，基本满足了实验的目的。

囿于学识，实验过程较为简陋，存在诸多缺陷。