航天一中2020-2021学年度第一学期期末检测
高一年级 数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。

1. 下列说法正确的有（ ）
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
④圆锥的轴截面都是等腰三角形.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中
BC=AB=2,则平面图形面积为（ ） 223.A 23.B 212.C 26.D
3. 一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的表面积为（ ）
A. )(3122cm +
B. )(3102cm +
C. )(32102cm +
D. )(32122cm +
4. 已知直线l 、m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A ．若l n αβαβ⊆⊆∥，，，则//l n
B ．若l αβα⊥⊆，，则l β⊥
C ．若l n m n ⊥⊥，，则l m ∥
D ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥
5. 已知直线013:=+-y x l ，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线l 的倾斜角是30°
B. 若直线013:=+-y x m ，则l ⊥m
C. 点（0,3）到直线l 的距离为1
D. 过)2,32(与直线l 平行的直线方程是043=--y x
6. 平行于直线012=++y x 与且与圆522=+y x 相切的直线方程是（ ）
A. 052=++y x 或052=-+y x
B. 052=++y x 或052=-+y x
C. 052=+-y x 或052=--y x
D. 052=+-y x 或052=--y x
7. 直线022=-+y ax 与直线02)1(=++-y a x 互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ）
A. )56,52(--
B. )56,52(-
C. )56,52(
D. )5
6,52(-
8. 过点（5,2），且在y 轴上的截距是在x 轴上截距2倍的直线方程是（ ）
A. 0122=-+y x
B. 0122=-+y x 或052=-y x
C. 012=--y x
D. 012=--y x 或052=-y x
9. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如
图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB=BC=CD,则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为
（ ）
A. 21
B. -2
1 C.
2 D. 23-
10. 圆4)2(:2
2=+-y x C 与直线04=--y x 相交所得弦长为（ ）
A. 1
B.
2 C. 2 D. 22
11. 古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262-公元前190）的著作《圆锥曲线论》是古代
世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数)1,0(≠>k k k 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知)0,0(O ，)0,3(A 动点P （x ，y ）满足
2|
|||=PO PA ,,则动点P 的轨迹与圆1)1(22=+-y x 的位置关系是（ ）
A. 外离
B. 外切
C. 相交
D.内切
12. 已知直线022:=++y x l ，圆4)1()1(:22=-+-y x C ，点P 为直线l 上的动点，过
点P 作圆C 的切线PA,PB,切点分别为A,B ，当四边形PACB 面积最小时，直线AB 的方程是（ ）
A. 012=--y x
B. 012=++y x
C. 012=-+y x
D. 012=+-y x
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13. 已知△ABC 的三个顶点分别为A(2,3),B(-1,-2),C(-3,4),则BC 边上的中线AD 所在的直线方程 为
14. 已知正四棱锥的底面边长为4cm ，高与斜高的夹角为30°，则该正四棱锥的侧面积 为 2cm
15. 我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，PA ⊥底面ABCD ，4=PA ,3=
AB ,1=AD ,则该“阳马”
外接球的表面积为
16. 给出下列说法：
①和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线一定在同一个平面
内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两相交且不过同一点的四条直线共面.
其中正确说法的序号是 .
三、解答题：本大题共5小题，共56分
17. （10分）如图△ABC 中，∠ACB=90°,∠ABC=30°，BC=3,在三角形内挖一个半圆，圆
心O 在边BC 上，半圆与AC,AB 分别相切于点C 、M,与BC 交于点N,将△ABC 绕直线BC 旋转
一周得到一个旋转体.
（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积.
18. （10分）已知圆C 的圆心在直线05=-+y x 上，且经过圆082:2
21=--+x y x C 与圆042:222=-++y y x C 的交点A,B.
（1）求圆C 的方程；
（2）求圆1C 的圆心到公共弦AB 所在直线的距离.
19. （12分）如图，在三棱柱C B A ABC '''-中，侧棱C C '⊥底面ABC ,AC AB =,F E D ,,分别为棱BC B B A A ,,''的中点.
（1）求证：AF C B ⊥';
（2）若,22,2='==C C BC AB 求三棱锥AEF D -的体积.
20. （12分）如图，已知直角梯形ABCD 中，E 为CD 边的中点，且AE ⊥CD ，又G,F 分别为
DA ，EC 的中点，将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC.
（1）求证：AE ⊥平面CDE;
（2）求证：FG//平面BCD;
（3）在线段AE 上找一点R ，使得平面BDR ⊥平面DCB ，并说明理由.
21. （12分）如图，已知圆心在x 轴正半轴上的圆C 与直线021125=++y x 相切，与y 轴
交于M,N 两点，且∠MCN=120°.
（1）求圆C 的标准方程；
（2）求过点P(0,3)的直线l 与圆C 交于不同的两点D,E ，若||DE =32，求直线l 的方程.。