若一个方阵的主对角线元素相等，且平行于主对角 线的斜线上的元素也相等，则称其具有Toeplitz性， 称该方阵为Toeplitz矩阵。
结论：如果离散时间随机过程是广义平稳的，则 它的自相关矩阵 R 一定是Toeplitz矩阵；反之
如果自相关矩阵 R为Toeplitz矩阵，则该离散时间 随机过程一定是广义平稳的。
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性质3 平稳离散时间随机过程的相关矩阵R是非负定的， 且几乎总是正定的。
证明：设 a M 1 为任意非零向量，二次型
aH Ra aH E u n uH n a
E aHu n uH n a
E aHu n aHu n H E aHu n 2 0
故 R 总是非负定的。当且仅当观测向量的每个随机
= 1 cosm
2
9
当 k l n时，可以定义 方差
2 n var u n E u n
平均功率
2
Pn E un
2
n r n, n
c n, n
如果随机过程 u n 均值为零，即 n 0时，则有
r n1, n2 c n1, n2 , P n
2n
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对于两个不同的随机过程u n 和v n ，可以定义 互相关函数
2 E un
2
c0
2
P E un
r0
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对于两个平稳随机过程u n 和 v n ，有 互相关函数 互协方差函数 ruv m E u n v n m
cuv m E u n u v n m v
其中， u 和 v分别是平稳随机过程u n 和v n 的均值。
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平稳随机过程中相关函数的性质 性质1 原点处自相关函数值最大
p u,v p u p v
由上式容易推导出 E UV E U E V
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正交： 如果两个随机变量U、V 是相互正交的，则有
E UV 0
相关： 两个随机变量U 、V 的相关系数定义为
cov U ,V
cov U ,V
var U var V
uv
其中，
1 ，U 的均值和方差分别为
u和
， V 2
随机变量，其他为常数，求 u n 的均值和自相关函
数。
E u n EAcosn

2
0
A
2
cosn d
=0
r m Eu nu n m
EAcosn Acos n m
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用希尔伯特变换，可得到任意实随机过程的复数表示
w n x n jxˆ n
其中，xˆ n 为实随机过程 x n 的希尔伯特变换可表示为
1 1n xˆ n x n h n x n
n
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窄带随机过程的复数表示
如果 x n 是一个实的窄带随机过程，可用表达式为
x n a n cos 0n n 式中a n ， n 是随机过程，且其功率谱宽度远小于载 角频率 0 。
1
u
2 u
2
u
uv
v
e 21 2
2 u
uv
2
v
2 v
2 v
由性质1知，统计独立可以推导出不相关。可推导出：
p u,v
1
u
2 u
e2
2 u
2u
1
v
2 v
e2
2 v
2v
pu pv
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性质3 如果两个随机变量中有一个均值为零，则统 计不相关和正交等价。
证明：统计不相关，则其协方差为零，且 V 0
ruv k,l E u k v l
互协方差函数
cuv k,l E u k u k v l v l
ruv k,l
uk vl
其中，u n 和 v n 分别是随机过程u n 和 v n 的均值。
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离散时间平稳随机过程的数字特征
对于广义平稳随机过程u n ，可以得均值
自相关函数
n
rm E unu n m
随机过程 x t 某时刻 t0 的值 x t0 是一个随机变量。
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2.1 离散时间平稳随机过程基础
离散时间随机过程 随机过程 x t 的样本函数 xi t 离散化，得离散样本函数，
所有离散样本函数的集合为离散时间随机过 程，表示为 x n ,有时也称为离散时间随机信号。
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r0 rm
性质2 自相关函数具有共轭对称性
r m rm
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互相关函数有如下性质
性质1 互相关函数具有共轭对称性
ruv m rv*u m
性质2 互相关函数ruv m 满足
ruv m
ru 0 rv 0
其中，ru 0 和 rv 0 分别为u n 和 v n 平均功率。
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自协方差函数
cm E un un m
rm
2
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例2 利用公式 c m E u n u n m
证明:1） c m c m
2） cm c0
证明:1） c m E u n u n m
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c m E un un m
rm rm cm
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方差 平均功率
遍历性与统计平均和时间平均
设 uN 0 ,uN 1 , ,uN N 1 是样本函数uN n 的 N 个观测 值，定义时间均值为
ˆ
1 N
N n
1
uN
0
n
定义时间自相关函数为
rˆ m
1N1
Nn
uN
0
n uN
n
m
考虑到仅N个观测值，当m 0时，上式也可表示为
rˆ m
1N1
Nn
uN
m
n uN
n
m
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nN
n
r n1 N, n2 N r n1, n2
则称随机过程u n 为广义循环平稳随机过程或周期平 稳随机过程，其中，N 称为循环平稳信号的周期。
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一个循环平稳的离散时间随机过程，其均值为零， 自相关函数可以表示为
r n, n m E u n u n m
由于r n,n m 是关于n以 N 为周期的周期函数，可以
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如果时间均值 均方收敛于统计均值，即
lim E
N
ˆ2 0
则称该随机过程是均值均方遍历的。
若时间自相关函数均方收敛于自相关函数， 即
lim E r m rˆ m 2 0
N
则称该随机过程是相关均方遍历的。
如果平稳随机过程满足均值均方遍历和相关均方遍历， 那么称该平稳随机过程为均方遍历（各态历经）的。
将其展开成离散傅里叶级数形式
r n, n m
N1
j 2 nl
ale N
l0
其中，al为离散傅里叶级数的系数，它可以表示为
al
1N1 r n, n
j 2 ln
me N
Nn 0
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令 l N，r m al，则离散傅里叶级数的系数 r m 可以表示为
rm
1N1 r n, n
m e j2 n
第2章 离散时间平稳随机过程
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1
2.1 离散时间平稳随机过程基础
2.1.1离散时间随机过程及其数字特征
随机过程
随机变量是指变量X 的取值由每次随机试验的结 果决定。如果每次随机试验的结果不是一个数，而是 一个随时间变化的函数xi t ，则所有可能的这些函数 的集合，称为该随机试验的随机过程，表示为x t 。
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2.2.2 自相关矩阵的基本性质
性质1 平稳离散时间随机过程的相关矩阵是Hermite
矩阵，即有
RH R
证明：由自相关矩阵定义，有 RH E u n uH n H
E u n uH n H
E u n uH n
R
对于实随机过程，自相关矩阵是对称矩阵，即
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RT R
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性质2 平稳离散时间随机过程的相关矩阵是Toeplitz矩阵
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r0
r1
r1
r0
R
rM 1
rM 2
MM
rM1rM 2
r0
其中，r m 是随机过程的自相关函数，r m E u n u n m 根据相关函数共轭对称性，上式又可重写为
r0
r1
r* 1
r0
R
rM 1 rM 2
r* M 1 r* M 2
r0
因此，只需自相关函数的 M 个值就可确定 R 。
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平稳随机过程是均方遍历的，则均值和自相关 函数可以用时间平均替代集总平均。
设 uN 0 ,uN 1 , ,uN N 1 是样本函数的N个观测值，如 果该随机过程为均方遍历的，则它的数字特征可用时间
平均来估计，即
Eun
1N1
lim
N
N
n
uN
0
n
2 E un
2
rm E unu n m
通过正交解调，可得随机过程的复包络。
u n uI n juQ n =a(n)e j (n)
uI n a n cos n
uQ n a n sin n
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实现正交解调的框图
uQ n
+
LPF
xn