相似三角形1.如图，在△中，∠90°，3，4，过点B作射线1∥．动点D从点A出发沿射线方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作⊥于H，过点E作⊥交射线1于F，G是中点，连接．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，，并求出此时的长度；（2）当△与△相似时，求t的值．2.如图，在△中，＝90°，6m，8m，动点P以2的速度从A点出发，沿向点C移动．同时，动点Q以1的速度从C点出发，沿向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当2.5s时，求△的面积；②求△的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在△中，＝90°，＝6，＝8，点D在边上运动，平分交边于点E，⊥，垂足为M，⊥，垂足为N．（1）当＝时，求证：∥；（2）探究：为何值时，△与△相似？4.如图所示，在△中，＝＝20，＝30，点P从A点出发，沿着以每秒4的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿以每秒3的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，∥？（2）△与△能否相似？若能，求出的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形中，12，6，点P沿边从A开始向点B以2的速度移动；点Q沿边从点D 开始向点A以1的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。
（1）当t为何值时，△为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△相似？6.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数的图象与线段的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．7.在△中，，4，2，以为边在C点的异侧作△，使△为等腰直角三角形，求线段的长．8.在△中，，∠90°，点M是上的一点，点N是上的一点，沿着直线折叠，使得点C恰好落在边上的P点．求证：：：．9.如图，在直角坐标系中，矩形的边在x轴上，边在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线翻折B点落在D点的位置，且交y轴于点E．那么D点的坐标为（）A. B. C. D.10..已知，如图，直线﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以为短边在第一象限做一个矩形，使得矩形的两边之比为1﹕2。
求C、D两点的坐标。
11.如图：△中，D是上一点，，边上的中线交于F。
求证：12.四边形中，为、的比例中项，且平分∠。
求证：13.在梯形中，∥，＝b，＝a，E为边上的任意一点，∥，且交于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当时，；(2)当时，；(3)当时，．当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示的一般结论，并给出证明．14.已知：如图，在△中，M是的中点，E、F是上的两点，且＝＝。
求：：．15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的．（注：重心是三角形三条中线的交点）.（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．16.如图，在等边△中，M、N分别是边，的中点，D为上任意一点，、的延长线分别交、于点E、F．求证：．17.已知：如图，梯形中，，对角线、交于O，过O作分别交、于E、F。
求证：．18.如图，在△中，已知为边上的高，正方形的四个顶点分别在△上。
求证：．19.已知，在△中作内接菱形，设菱形的边长为a．求证：．20.（1）如图1，点在平行四边形的对角线上，一直线过点P分别交，的延长线于点Q，S，交于点．求证：（2）如图2，图3，当点在平行四边形的对角线或的延长线上时，是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；21.如图，在平行四边形中，过点A作⊥，垂足为E，连接，F为线段上一点，且∠＝∠B.(1)求证：△∽△(2)若＝4＝33＝3,求的长.22.如图，已知等腰三角形中，，分别为，边上的高，过D作的垂线交于E，交于G，交延长线于H。
求证：2•23.已知如图，P为平行四边形的对角线上一点，过P的直线与、、的延长线、的延长线分别相交于点E、F、G、H.求证：24.已知，如图，锐角△中，⊥于D，H为垂心（三角形三条高线的交点）；在上有一点P，且∠为直角．求证：2＝·。
25.已知如图，是△斜边上的高，E为的中点，的延长线交于F。
求证：26如图，在△中，是斜边上的高，点M在上，⊥且与的延长线交于点E.求证：（1）△∽△；（2）27.如图，△是直角三角形，∠90°，⊥于D，E是的中点，的延长线与的延长线交于点F.（1）求证：.（2）若G是的中点，连接，与垂直吗？并说明理由.28.如图，四边形、都是正方形，连接、与相交于点M，与相交于点N．求证：．29.如图，、分别是△的两边上的高，过D作⊥于G，分别交及的延长线于F、H。
求证：（1）2＝·；（2）·＝·30.△和△是两个等腰直角三角形，∠∠90°，△的顶点E位于边的中点上．（1）如图1，设与交于点M，与交于点N，求证：△∽△；（2）如图2，将△绕点E旋转，使得与的延长线交于点M，与交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．31.如图，四边形和四边形都是平行四边形，点R为的中点，分别交、于点P、Q．（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求：：．32.如图，在△中，⊥于D，⊥于E，⊥于F。
求证：33.如图，△ C 是由△绕点A顺时针旋转得到的，连结交斜边于点E，的延长线交于点F．（1）证明：△∽△；（2）设∠α，∠=β，试探索α、β满足什么关系时，△与△是全等三角形，并FEC BAB'C'图15-2ADOBC21 MN图15-1A DB M N12图15-3ADOBC21 MNO说明理由．34.在直角梯形中，∥，∠＝90º，＝3，＝6，＝3．分别以、边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B 的坐标；（2）已知D 、E 分别为线段、上的点，＝5，＝2，直线交x 轴于点F ．求直线的解析式； （3）点M 是（2）中直线上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ．使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．35.在图15-1至图15-3中，直线与线段相交于点O ，∠1 = ∠2 = 45°． （1）如图15-1，若 = ，请写出与 的数量关系和位置关系；（2）将图15-1中的绕点O 顺时针旋转得到图15-2，其中 = ．求证： = ， ⊥ ； （3）将图15-2中的拉长为的k 倍得到图15-3，求ACBD 的值．36.如图，在正方形中，E 是上的一点,连结，作⊥，垂足为H ,交于F ,作∥,交于G . (1)求证; (2)2·; (3) 22ABFC =GBGF .37.刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠90°，∠30°，6；图②中，∠90°，∠45°，4 ．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△的直角边与△的斜边重合在一起，并将△沿方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在边上(移动开始时点D 与点A 重合)．(1)在△沿方向移动的过程中，刘卫同学发现：F 、C 两点间的距离逐渐 ▲ ． (填“不变”、“变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△移动至什么位置，即的长为多少时，F 、C 的连线与平行? 问题②：当△移动至什么位置，即的长为多少时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题③：在△的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠15°?如果存在， 求出的长度；如果不存在，请说明理由． 请你分别完成上述三个问题的解答过程．38.已知△中，＝25，＝45，＝6（1）如图1点M 为的中点，在线段上取点N ，使△与△相似，求线段的长； （2）如图2,是由100个边长为1的小正方形组成的10×10正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，①请你在所给的网格中画出格点△A 1B 1C 1，使得△A 1B 1C 1与△全等（画出一个即可，不需证明）BACH EFG②试直接写出在所给的网格中与△相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个（不需证明）39.已知直角坐标系中菱形的位置如图，C ，D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动分别从同时出发，点P 沿线段向终点D运动，点Q 沿折线向终点A 运动，设运动时间为t 秒.(1)填空：菱形的边长是 、面积是 、高的长是 ； (2)探究下列问题：①若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度为每秒2个单位.当点Q 在线段上时，求△的面积S 关于t 的函数关系式，以及S 的最大值。
②若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度变为每秒k 个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k 值，使得△沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当4秒时的情形，并求出k的值.GxyABCD OE(图1)PQ40.△中，，D为的中点，以D为顶点作∠∠B．（1）如图（1）当射线经过点A时，交边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△相似的三角形．（2）如图（2），将∠绕点D沿逆时针方向旋转，，分别交线段，于E，F点（点E与点A 不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若10，12，当△的面积等于△的面积的时，求线段的长．41.如图，已知正方形中，平分DBC∆的∆绕点C顺时针旋转到DCF∠且交边与点E，将BCE位置，并延长交于点G（1）求证:DEG∆∽;BDG∆（2）若·4，求的42.如图，在△中，∠90°，．点D是的中点，连接，过点B作丄，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接．给出以下四个结论：①；②点F是的中点；③；④S△△，其中正确的结论序号是．。