相似三角形难题易错题一．填空题（共2小题）1．如图所示，已知AB ∥EF∥CD ，若AB=6 厘米，CD=9 厘米．求EF．2．如图，?ABCD 的对角线相交于点O，在AB 的延长线上任取一点E，连接OE 交BC 于点F．若AB=a ，AD=c ，BE=b，则BF= _________ ．二．解答题（共17小题）3．如图所示．在△ABC 中，∠BAC=120 °，AD 平分∠BAC 交BC 于D．求证：．4．如图所示，?ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，E 为AD 延长线上一点，OE 交CD 于F，EO 延长线交AB 于G．求证：．15．一条直线截△ABC 的边BC、CA 、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：．6．如图所示．P为△ABC 内一点，过P 点作线段DE，FG，HI 分别平行于AB ，BC 和CA ，且DE=FG=HI=d ，AB=510 ，BC=450，CA=425 ．求d．7．如图所示．梯形ABCD 中，AD ∥BC，BD ，AC 交于O 点，过O 的直线分别交AB ，CD 于E，F，且EF∥BC．AD=12 厘米，BC=20 厘米．求EF．2WORD格式8．已知：P 为?ABCD 边BC 上任意一点，DP 交AB 的延长线于Q 点，求证：．9．如图所示，梯形ABCD 中，AD∥BC，MN ∥BC，且MN 与对角线BD 交于O．若AD=DO=a ，BC=BO=b ，求MN ．10．P 为△ABC 内一点，过P 点作DE，FG，IH 分别平行于AB ，BC，CA（如图所示）．求证：．411．如图所示．在梯形ABCD 中，AB∥CD，AB ＜CD．一条直线交BA 延长线于E，交DC 延长线于J，交AD 于F，交BD 于G，交AC 于H，交BC 于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ ，求DC：AB ．12．已知P 为△ABC 内任意一点，连AP，BP，CP 并延长分别交对边于D，E，F．求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．13．如图所示．在△ABC 中，AM 是BC 边上的中线，AE 平分∠BAC ，BD⊥AE 的延长线于D，且交AM 延长线于F．求证：EF∥AB ．5WORD格式WORD 格式14．如图所示． P ，Q 分别是正方形A BCD 的边A B ，BC 上的点， 且 BP=BQ ，BH ⊥PC 于 H ．求 证： QH ⊥DH ．15．已知 M 是 Rt △ABC 中斜边B C 的中点， P 、Q 分别在A B 、AC 上，且 PM ⊥QM ．求证：2 2 2PQ =PB +QC ．16．如图所示．在△ABC 中，∠ACB=90 °，CD ⊥A B 于 D ，AE 平分∠CAB ，CF 平分∠BCD ．求 证： EF ∥B C ．17．如图所△ABC 内有一点 P ，满足∠APB= ∠BPC=∠CPA ．若 2∠B=∠A+∠C ，求证：2PB =PA?PC ．（提示：设法证明△P AB ∽△PBC ．）7WORD格式18．已知：如图，△ABC 为等腰直角三角形， D 是直角边BC 的中点，E 在AB 上，且AE ：EB=2：1．求证：CE⊥A D ．19．如图所示，△ABC 中，M 、N 是边BC 的三等分点，BE 是AC 边上的中线，连接AM 、AN ，分别交B E 于F、G，求BF：FG：GE 的值．20.在△ABC 中，∠A ∶∠B∶∠C=1∶2∶4．求证1AB +1AC =1BC提示：要证明如 1a + 1b =1c几何a+bab =1c或a+ba =bc，故构造ca +cb = 1，利用相关定理将两个个比通分即： ca =md，cb=nb，且m + n = d，则原式成立。

9213 初中相似三角形 参考答案与解析 一．填空题（共 2 小题） 1．如图所示，已知 AB ∥E F ∥C D ，若 AB=6 厘米， CD=9 厘米．求 EF ．考点 ：平 行线分线段成比例． 算题． 分析：由于BC是△AB C与△D B C 的公共AB ∥E F ∥C D ，利用平行线分线段成比例的定 理，可求EF ． 解答：解 ：在 △ABC 中，因为E F ∥A B ，所以 EF ： AB=CF ：CB ①， 同样，在 △DBC 中有 EF ：CD=BF ：CB ②， ①+②得 EF ：AB+EF ：CD=CF ：CB+BF ：CB=1③． 设EF=x 厘米，又已知 AB=6 厘米， CD=9 厘米，代入③ 得x ：6+x ：9=1， 解得 x= ． 故 EF= 厘米． 点评：考 查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的算． 2．如图， ?A B C D的对角线相交于点 O ，在 A B 的延点 F ．若 AB=a ，AD=c ，BE=b ，则B F= ． 考点 ：相 似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 算题． 分析：首 先作辅助线：取 A B 的性质，即可求得： △EFB ∽△EOM 与 OM 的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求 得 BF 的值． 解答：解 ：取中∵四边形 ABCD 是平行四边形， 10∴AD ∥B C ，OB=OD ，∴OM ∥A D ∥B C ，OM= AD= c ， ∴△EFB ∽△EOM ， ∴，∵AB=a ，AD=c ，BE=b ， ∴ME=MB+BE=AB+BE=a+b ，∴ ，∴BF= ．故答案为：．点评：此 题考查了平行四边形的相似三角形的判定与性质． 解此题的关键是准 确作出辅助线，合理应用数形想解题． 二．解答题（共17 小题） 3．如图所示．在△ABC 中，∠BAC=120 °，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D ．求证： ． 考点 ：相 似三角形的判定与性质；等边三角形的判定． 专题 ：证 明题． 分析：过D 引 DE ∥A B ，交 AC 于 E ，因为 AD 平分∠BAC （ =120°），所 以 ∠BAD= ∠E AD=60 °．若 引 DE ∥A B ，交 AC 于 E ，则△ADE 为正三角形， 从而 AE=DE=AD ，利用 △CED ∽△CAB ， 可实现求 解答：证D 引 DE ∥A B ，交 AC 于 E ． ∵AD 是∠BAC 的平分线，∠ BAC=120 °， ∴∠BAD= ∠CAD=60 °． 又∠BAD= ∠EDA=60 °， 所以∴△ADE 是正三角形，∴EA=ED=AD ．①由于 DE ∥A B ，所以 △CED ∽△CAB ， ∴===1﹣．②由①，②得=1﹣，11从而 + = ．点评：本 题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形的判定，考查了角平分线的性质，本题中求证△CED ∽△CAB 是解题的关键．4．如图所示， ?A B C D 中， A C 与 B D 交于 O 点，AD 延长线上一点， OE 交 CD 于 F ， EO 延长线交 AB 于 G ．求证：． 考点 ：相 似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． ：证 明题． 分析：应利用平行四边形的性质，通过添“集中 ”到一个三角形中来求证．解答：证 明：延长 CB 与 EG ，其延长线交于 H ，如虚线所示，构造平行四边形 AIHB ．在 △EIH 中，由于 DF ∥I H ， ∴ = ． ∵IH=AB ，∴ = ， 从而，﹣=﹣= = =1+ ．① 在 △OED 与△OBH 中， ∠DOE= ∠BOH ，∠OED= ∠OHB ，OD=OB ， ∴△OED ≌△OBH （AAS ）． 从而 DE=BH=AI ， ∴=1．②由①，=2． 点评：此 题考查学生对相似三角形的关键是延长 CB 与 EG ，其延长线交于 H ，如虚线所示，构造平行四边形 AIHB ．这是此题的突破点，也是一个难点，因此属125．一条直线截△ABC 的边BC、CA、AB （或它们的延长线）于点D、E、F．求证：．考点：三角形的面积．专题：证明题．分析：连接BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比，然后约分即可求证．解答：证明：如图，连接BE、AD ，∵△BDE 与△DCE 等高，∴= ，∵△DCE 与△ADE 等高，∴= ，∵△ADF 与△BDF 等高，∴= ，∵△AEF 与△BEF 等高，∴= ，∴= ，∴? ? = ? ? =1．点评：此题考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是连接BE、AD ，并把线13段之比转化为两三角形面积之比．6．如图所示． P 为 △A B C内一P 点作线段 DE ，FG ，HI 分别平行于 AB ，BC 和 CA ， 且 DE=FG=HI=d ，AB=510 ，BC=450，CA=425 ．求 d ． 考点 ：相 似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质． ：计 算题． 分析：由 FG ∥B C ，HI ∥C A ，ED ∥A B ，易证四边形 AIPE 、四边形 BDPF 、四边形 CGPH 均是 平行四边形， 利用平行线分线段成比例定理可得 △IHB ∽△AFG ∽△ABC ，于是 = ， =，= ，先计算式子右边的和，易求 + + = =2， 从而有 + + =2，再把 DE=FG=HI=d ，AB=510 ，BC=450 ，CA=425 代入此式， 解即可． 解答：解 ：∵FG ∥B C ，HI ∥C A ， ED ∥A B ， ∴四边形 AIPE 、四边形 BDPF 、四边形 CGPH 均是平行四边形， ∴△IHB ∽△AFG ∽△ABC ， ∴ = ， = ， ∴ + + = ， 又∵DE=PE+PD=AI+FB ， AF=AI+FI ， BI=IF+FB ， ∴DE+AF+BI=2 ×（AI+IF+FB ） =2AB ，∴++==2，∵DE=FG=HI=d ，AB=510 ，BC=450，CA=425 ， ∴ + + =+ +=2，∴++ =2，解得 d=306．点评：本 题考查了相似三角形的判定和性质． 147．如图所示．梯形ABCD 中，AD ∥BC，BD ，AC 交于O 点，过O 的直线分别交AB ，CD 于E，F，且EF∥BC．AD=12 厘米，BC=20 厘米．求EF．考点：平行线分线段成比例．分析：由平行线的性质可得= = = ，得出OE 与BC，OF 与AD 的关系，进而即可求解EF 的长．解答：解：∵AD ∥BC，EF∥BC，∴= = = ，又= = ，= = ，∴OE= BC= ，OF= AD= ，∴EF=OE+OF=15 ．点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．8．已知：P 为?ABCD 边BC 上任意一点，DP 交AB 的延长线于Q 点，求证：．考点：相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由于AB=CD ，所以将转化为，再由平行线的性质可得= ，进而求解即可．解答：证明：在平行四边形ABCD 中，则AD ∥BC，AB ∥CD，∴= =∴﹣= ﹣= =1．点评：本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．9．如图所示，梯形ABCD 中，AD∥BC，MN ∥BC，且MN 与对角线BD 交于O．若AD=DO=a ，BC=BO=b ，求MN ．15考点 ：相 似三角形的判定与性质；梯形． 算题．分析：由 平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已即可求解线段 MN 的 长． 解答： 解：∵MN ∥B C ，∴在 △ABD 中， = ，即 OM= = ，同理 ON= = ， ∴MN=OM+ON= ． 点评：本 题主要考查了平行线分线段成比例的性质问 10．△A B C 内一P 点作 D E ，F G ，I H 分别AB ，BC ， CA （如图所示） ．求证： ． 考点 ：平 行线分线段成比例． ：证 明题． 分析： （ 1）由平行线可得 △PIF ∽△CAB ，得出对应线段成比例， 即 = = ，同理得出= = ，即可 （ 2）证明方法与（ 1）相同． 解答：证 明：（ 1）∵DE ∥A B ，IH ∥A C ，FG ∥B C ， ∴可得 △PIF ∽△CAB ， ∴ = = ， 同理 = = ，16+ + = + + =1．（2）仿（1）可得= = ，= = = ，∴+ + = + + =1．点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质通过线段之间的转化，证明一些简单的结论．11．如图所示．在梯形ABCD 中，AB∥CD，AB ＜CD．一条直线交BA 延长线于E，交DC 延长线于J，交AD 于F，交BD 于G，交AC 于H，交BC 于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ ，求DC：AB ．考点：相似三角形的判定与性质；梯形．专题：计算题．分析：由平行线可得对应线段成比例，又由已知EF=FG=CH=HI=IJ ，可分别求出线段AB 、CD 与AE、CJ 的关系，进而可求解结论．解答：解：∵AB ∥CD，EF=FG=CH=HI=IJ ，∴= = ，∴= = ，= = ，∴DJ=4AE ，又= ，解得AB= AE ，又AE= CJ，∴AB= CJ，EB=4CJ ，= = ，CD=5CJ ，∴AB ：CD= ：5=1：2．点评：本题主要考查了相似三角形对应边成比例或平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握．1712．已知△A BC 内任意一A P ，B P ，C P 并延长于D ，E ，F ． 求证：（1） （ 2） 三者中，至少有一个不大于 2，也至少 有一个不少于 2． 考点 ：平 行线分线段．：证 明题． 分析：（ 1）第一问可由三角形的面积入手，即 △PBC+△PAC+△PAB=△ABC ，通过化简可得面 积与线段之间的关系，进而即可求解． （ 2）由（ 1）中得出 ，则其中至少有一个不大于≤ ，即 3AD ≤PD ，而 AD=AP+PD ，进而通过证明即可得出结论． 解答：解 ：（1）由面积概念得： S △PBC +S △P AC +S △P AB =S △ABC ① 整理等式得： + + =1，② 由面积概念得： = ， = ， ∴ = ， 即 = ③ 同理得：=④= ⑤把式③、④、⑤、代入式② 得：18；（ 2）由，知 ， ， 中至少有一个不大于 ，不妨设≤ 即 3AD ≤PD ． 而 AD=AP+PD ， ∴AP ≥2PD ， ∴≥2，即不小于 2，同理可证三式中至少有一个不大于2．点评：本 题主要考查了三角形的面积比与对应边系，能够熟练掌在联 系，并能求解一些比较复题． 13．如图所示． 在△ABC 中，AM 是 BC 边上的中线， AE 平分∠BAC ，BD ⊥AE 的延长线于 D ， 且交 AM 延长线于 F ．求证： EF ∥A B ． 考点 ：相 似三角形的判定与性质；角平分线的性质． ：证 明题． 分析：利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角法证明 △MEF ∽△MAB ，从而 EF ∥A B 解答：证 明：过B 作 BG ∥A C 交 AE 的延长线于 G ，交 AM 的延长线于 H ． ∵AE 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAE= ∠CAE ． ∵BG ∥A C ， ∴∠CAE= ∠G ， ∴∠BAE= ∠G ， ∴BA=BG ．又 BD ⊥AG ， ∴△ABG 是等腰三角形，∠ ABF= ∠HBF ，∴F 到 AB 与 BH 的距离相等， ∴S △A BF ：S △HBF =AB ：BH ， ∵S △A BF ：S △H BF =AF ：FH ， ∴AB ：BH=AF ：FH ． 又 M 是 BC 边的中点，且 BH ∥A C ，易知 ABHC 是平行四边形，从而 BH=AC ，19∴AB ：AC=AF ：FH．∵AE 是△ABC 中∠BAC 的平分线，∴AB ：AC=BE ：EC，AF ：FH=BE ：EC，即（AM+MF ）：（AM﹣M F）=（BM+ME ）：（BM﹣M E）（这是因为A BHC 是平行四边形，所以AM=MH 及BM=MC ）．由合分比定理，上式变为AM ：MB=FM ：ME．在△MEF 与△MAB 中，∠EMF= ∠AMB ，∴△MEF ∽△MAB∴∠ABM= ∠FEM ，所以EF∥A B ．点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和角平分线的理证明此键是过B引BG∥A C 交AE 的延长线于G，交AM 的延长线于H．和利用合分比定理．14．如图所示．P，Q 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 上的点，且BP=BQ ，BH⊥PC 于H．求证：QH⊥DH ．考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；正方形的性质．：证明题．分析：要证QH⊥D H，只要证明∠BHQ= ∠CHD ．由于△PBC 是直角三角形，且BH ⊥P C，熟知∠PBH= ∠PCB，从而∠HBQ= ∠HCD ，因而△BHQ 与△DHC 相似．解答：证明：在Rt△PBC 中，∵BH ⊥PC，∴∠PBC=∠PHB=90 °，∴∠PBH= ∠PCB．显然，Rt△PBC∽Rt△BHC ，∴= ，由已知，BP=BQ ，BC=DC ，∴= ，∴= ．∵∠ABC= ∠BCD=90 °，∠PBH=∠PCB，∴∠HBQ= ∠HCD ．在△HBQ 与△HCD 中，∵= ，∠HBQ= ∠HCD ，∴△HBQ ∽△HCD ，∴∠BHQ= ∠DHC ，∠BHQ+ ∠QHC= ∠D HC+ ∠QHC．又∵∠BHQ+ ∠QHC=90 °，∴∠QHD= ∠QHC+DHC=90 °，20即 DH ⊥H Q ．点评：本 题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，难度适中，关握相似三 角形的判定方法．15．已知 M 是 Rt △ABC 中斜边 BC 的中点， P 、Q 分别在A B 、AC 上，且 PM ⊥QM ．求证： 22 2 PQ =PB +QC． 考点 ：直 角三角形斜边上的中线；勾股定理． ：证 明题． 分析：以 M 点为中心，△M C Q针旋转 180°至 △MBN ，根据旋转的旋转可得 △MCQ 与△MBN全等，根据全等三角形对应边相等可得 BN=QC ，MN=MQ ，全等三角形对应角相等 可得，∠M B N = ∠C ，PN ，可以证明 PM 垂直平分 NQ ，所以 PN=PQ ，然后证明 △PBN 为直角三角形，根据勾股定理即可证明． 解答：证 明：如图，以 M 点为中心，△M C Q 针旋转 180°至 △MBN ， ∴△MCQ ≌△MBN ， ∴BN=QC ，MN=MQ ，∠MBN= ∠C ， PN ，∵PM ⊥Q M ， ∴PM 垂直平分 NQ ， ∴PN=PQ ， ∵△ABC 是直角三角形， BC 是斜边， ∴∠ABC+ ∠C=90°， ∴∠ABC+ ∠MBN=90 °， 即 △PBN 是直角三角形， 2 2 根据勾股定理可得， PN =PB +BN 2 2 2 ∴PQ ． =PB +QC 2 ，点评：本 题考查了直角三角形的旋转，旋转变换的构造出以 PQ 、PB 、QC 转化为同一个直角三角形的三边是证明的关键． 16．如图所示．在△ABC 中，∠ACB=90 °，CD ⊥A B 于 D ，AE 平分∠CAB ，CF 平分∠BCD ．求 证： EF ∥B C ． 21考点 ：相 似三角形的判定与性质；平行线的判定． ：证 明题．分析：由 题中条件可得 AC=AF ，即 △ACF 是等腰三角形， 所以 EC=EF ，进而得出∠ECF=∠EFC ，结论得证．解答：证 明：∵∠ACB=90 °，CD ⊥A B ，∴∠CAD= ∠BCD ，又 AE 平分∠CAB ，CF 平分∠BCD ， ∴∠BCF=∠CAE ，∠B= ∠ACD ，∴∠B+∠ECF=∠B+∠BCF ，即∠ACF= ∠A FC ， 又 AE 平分∠CAB ，∴AC=AF ，∴CE=EF ， 即∠ECF=∠EFC ， ∴∠EFC=∠BCF ，即 EF ∥B C ．点评：本 题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的判定问题17．如图所示．在 △ABC 内有一点 P ，满足∠APB= ∠BPC=∠CPA ．若 2∠B=∠A+∠C ，求证： 2 PB =PA?PC ． （提示：设法证明 △P AB ∽△PBC ．） 考点 ：相 似三角形的判定与性质． ：证 明题． 分析：用 ∠APB= ∠APC=120°， ∠CBP=∠BAP 两个对应角相等证明 △PAB ∽△PBC ，根据相似比可 证到结论． 解答：证 明：∵∠APB=120 °， ∴∠ABP+ ∠BAP=60 °， 又 ∵∠ABC=60 °， ∴∠ABP+ ∠CBP=60°，∴∠CBP=∠BAP ， 又 ∵∠APB= ∠APC=120 °， ∴△ABP ∽△BCP ， ∴ =，2∴BP=PA?PC ．点评：本 题考查相似三角形的判定和性质定理，先用判定定理证明相似，然后根据相似对应边成比例证明结论．18．已知：如图， △ABC 为等腰直角三角形， D 是直角边 BC 的中点， E 在 AB 上，且 AE ： EB=2：1．求证： CE ⊥A D ．22考点 ：相 似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 明题．分B 作BC的CE 的延长线于点 F ，从而可推出 AC ∥BF ，根据平行线的性质 可得到两组对应角相等从而可判定 △ACE ∽△ BFE ，根据相似三角形的对应边对应成 比例可得到 AC=2BF ，进而得到 CD=BF ，再利用 HL 判定 △ACD ≌ △ CBF ，由全等三 角形的性质得其对应角相等，再根据等角的解B 作 B C 的CE 的延长线于点 F ，（1 分） ∴∠FBC=∠ACB=90 °． ∴AC ∥B F ． ∴△ACE ∽△BFE ．（3 分） ∴ ． ∴AC=2BF ．（4 分） ∵AC=BC ， ∴CD=BF ．（5 分） 在 △ACD 和△CBF 中，∴△ACD ≌△CBF ．（6 分） ∴∠1=∠2． ∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°． ∴∠4=90°．∴CE ⊥A D ．（ 7 分）点评：此 题主要考查学生对全等用．19．（巧解妙解） 如图所示， △ABC 中，M 、N 是边 BC 的三等分点， BE 是 AC 边上的中线， 连接A M 、AN ，分别交B E 于 F 、G ，求 BF ：FG ：GE 的值． 23WORD 格式考点 ：平 行线分线段成比例．用题．分析：作 已知图形的中心对称图形，如图所示，设 B F =a ，F G =b ，G E =c ，由平行线分 别求出 a ，b 与 c 之间的关系，即可得出． 解答：解：如答图所示． 作已知图形的中心对称图形，以 E 为对称中BF=a ，FG=b ， GE=c ． ∵M ′C ∥A M ，N ′C ∥A N ∴a ：（2b+2c ）=BM ：MC=1 ：2 ∴a=b+c ，而（ a+b ）：2c=BN ：NC=2 ：1 ∴a+b=4c ，所以 a= c ，b= c ． ∴BF ： FG ：GE=5：3：2． 点评：本 题主要考查了平行线分线段成比例问题， 要求线段的比， 通过作平行线构造 比例线段是一种重要的方法． 21.在△ ABC 中，∠ A ∶ ∠ B ∶ ∠ C=1∶ 2∶ 4．求证 1 AB + 1 AC = 1 BC 提示：要证明如 1 AB + 1 AC = 1 将原等式变为 BC AB +AC AB ?AC = 1 BC 或 AB +AC AB = AC BC ，为度分别为 A B ，B C ，C A 及 A B ＋4 条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决．注 意到，原△ A B C 中，已含上述 4 条线段中的辅助线，构造一个三角形，使它与△ ABC 相似，期望能解决问题． 证 延长A B 至 D ，使 BD=AC(此时，AD=AB ＋ AC)，又延长B C 至 E ，使 AE=AC ，连结ED ．下 面证明，△ ADE ∽△ ABC ． 设∠ A=α，∠ B=2α，∠ C=4α，则: ∠A+∠B+∠C=7α=180°． 由作图知，∠ ACB 是等腰三角形 ACE 的外角，所以 ∠ACE=180°-4α＝ 3α， 所以 ∠ CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α ．从而 24∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE．∵AE=AC，AE=BD，∴BE=BD，△BDE是等腰三角形，∴∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，∴△ABC∽△DAE，∴ADAE =ABBC，即AB +ACAC =ABBC∴ 1AB +1AC=1BC25。