《流形与几何》测验一2015.3.23
说明：从下列题目中选择5题完成并于一周内交给我.
1.设M,N分别为m,n维微分流形,证明M×N为m+n维微分流形.
2.设M,N为微分流形,f:M→N为光滑映射.如果f的秩恒等于l,则
任给p∈M,存在包含p的局部坐标邻域U以及包含q=f(p)的局部坐标邻域V,使得f(U)⊂V,且f的局部表示形如
(x1,···,x m)→(x1,···,x l,0,···,0).
3.设f:M→N为微分流形之间的淹没,证明f将开集映为开集.
4.定义映射f:GL(3,R)→GL(3,R)为f(A)=AA .计算f的秩,并说
明O(3)(3阶正交矩阵的全体)为正则子流形.
5.设f:M→N为微分流形之间的光滑映射.如果S为M的正则子
流形,则f|S:S→N仍为光滑映射;如果T为N的正则子流形,且f(M)⊂T,则存在光滑映射g:M→T,使得f=i◦g,其中i:T→N 为包含映射.
6.设f:R n→R为光滑函数,x0∈R n.记
S={x∈R n|f(x)=f(x0)}.
设∇f(x0)=0,证明在x0附近S为正则超曲面.
7.设{Aα}为R n中的一族局部有限的闭集,证明它们的并集仍为闭集.
8.设M,N为紧致微分流形,f为M×N上的光滑函数.证明:任给ε>
0,存在M上的有限个光滑函数g i和N上的有限个光滑函数h i(i= 1,···,k),使得
f(x,y)−
k
∑
i=1
g i(x)h i(y)
<ε,∀x∈M,y∈N.
1。