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高考数学专题—参数方程

高考数学专题——参数方程一、基本知识要求1.参数方程和普通方程的互化(1通过消去参数,从参数方程得到普通方程.(2)寻找变量x ,y 中的一个与参数t 的关系,令x =f (t ),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y =g (t ),那么⎩⎪⎨⎪⎧x =f (t ),y =g (t )就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使x ,y 的取值范围保持一致. 2.直线、圆和圆锥曲线的参数方程形式 直线参数方程:{x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α(t 为参数)圆的参数方程:{x =x 0+acos θy =y 0+asin θ (θ为参数且0≤θ<2π)椭圆的参数方程:{x =m cos ty =n sin t (t 为参数且0≤t <2π) 抛物线的参数方程:{x =2pt 2y =2pt(t 为参数)二、常考题型要求常考题型:共4种大题型(包含参数方程与普通方程转化问题、求距离问题、直线参数方程t 的几何意义、与动点有关的取值范围和最值问题)1、参数方程与普通方程互化问题:(1)参数方程中可通过代入法、加减法、平方法等直接消去参数时,则直接消参;(2)参数方程中参数为角时,则通过构造sin 2θ+cos 2θ=1消去参数。

例1、【2020年高考全国II 卷理数】[选修4—4:坐标系与参数方程]已知曲线C 1,C 2的参数方程分别为C 1:(θ为参数),C 2:(t 为参数).(1)将C1,C2的参数方程化为普通方程;【解析】(1)的普通方程为.由的参数方程得,,所以.故的普通方程为.例2、【2020·广东省高三其他(理)】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为=(>0),过点的直线的参数方程为(t为参数),直线与曲线C相交于A,B两点.(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程;【答案】(Ⅰ),【解析】(Ⅰ)根据可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标,两式相减消去参数得直线的普通方程为.得,由韦达定理有.解之得:或(舍去)试题解析:(Ⅰ)由得,∴曲线的直角坐标方程为.直线的普通方程为.例3、【2020·山西省太原五中高三其他(理)】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为(),将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.(1)求曲线的普通方程和极坐标方程; 【答案】(1)的极坐标方程为,普通方程为;【解析】(1),,即曲线的普通方程为,依题意得曲线的普通方程为, 令,得曲线的极坐标方程为;2、求距离问题:通过设圆的参数方程,转化为求三角函数的值域问题。

通常会用到点到直线距离公式。

注意点的形式。

例4、【2020·山西省太原五中高三月考(理)】在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为9,x y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为221613sin ρθ=+. (1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)已知P 为曲线C 上的一个动点,求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离.【答案】(1)221164x y +=.90x -=.(2)最大距离为92. 【解析】(1)由221613sin ρθ=+,得2223sin 16ρρθ+=,则曲线C 的直角坐标方程为22416+=x y ,即221164x y +=.直线l的直角坐标方程为90x --=.(2)可知曲线C 的参数方程为4cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数),设()4cos ,2sin P αα,[)0,2απ∈,则()2cos ,sin M αα到直线:90l x -=的距离为92d +==≤,所以线段OP 的中点M 到直线l例5、【2020·山西省山西大附中高三月考】在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为42x ty t=⎧⎨=-⎩(t 为参数).以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)设点P 在直线l 上,点Q 在曲线C 上,求PQ 的最小值.【答案】(1)42y x =-,2212y x +=;(2. 【解析】(1)直线l 的普通方程为42y x =-曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2212y x +=(2)曲线的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩设点Q的坐标为()cos ββPQ =≥=故PQ 的最小值为5. 例6、【2020·辽宁省高三三模】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为cos sin 1x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩(ϕ为参数),以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴建极坐标系. (1)求C 的极坐标方程;(2)直线1l ,2l 的极坐标方程分别为()6R πθρ=∈,()3R πθρ=∈,直线1l 与曲线C的交点为O 、M ,直线2l 与曲线C 的交点为O 、N ,求线段MN 的长度. 【答案】(1)2sin ρθ=-;(2)1.【解析】(1)由曲线C 的参数方程为cos sin 1x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩得曲线C 的直角坐标方程为:()2211x y ++=,所以极坐标方程为2222cos sin 2sin 0ρθρθρθ++=即2sin ρθ=-.(2)将6πθ=代入2sin ρθ=-中有1M ρ=-,即1OM =,将3πθ=代入2sin ρθ=-中有N ρ=ON =,366MON πππ∠=-=,余弦定理得2222cos16MN OM ON OM ON π=+-⋅=,1MN ∴=.例7、【2019·全国1·理T22文T22】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =1-t 21+t 2,y =4t 1+t2(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2ρcos θ+√3 ρsin θ+11=0.(1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值.【解析】(1)因为-1<1-t 21+t2≤1,且x2+(y 2)2=(1-t 21+t2)2+4t 2(1+t 2)2=1,所以C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1(x≠-1).l 的直角坐标方程为2x+√3y+11=0.(2)由(1)可设C 的参数方程为{x =cosα,y =2sinα(α为参数,-π<α<π). C 上的点到l 的距离为|√3sinα+11|√7=4cos(α-π3)+11√7. 当α=-2π3时,4cos (α-π3)+11取得最小值7,故C 上的点到l 距离的最小值为√7. 3、直线参数方程t 的几何意义:常用做题方法:已知直线l 经过点M 0(x 0,y 0),倾斜角为α,点M (x ,y )为l 上任意一点,则直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α(t 为参数).注意sin 2α+cos 2α=1。

(注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值.否则参数不具备该几何含义)常用结论:①若M 1,M 2是直线l 上的两个点,对应的参数分别为t 1,t 2,则|M 0M 1→| |M 0M 2→|=|t 1t 2|,|M 1M 2→|=|t 2-t 1|=(t 2+t 1)2-4t 1t 2;②若线段M 1M 2的中点为M 3,点M 1,M 2,M 3对应的参数分别为t 1,t 2,t 3,则t 3=t 1+t 22;例8、已知直线l:(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点M 的直角坐标为(5,),直线l 与曲线C 的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.【解析】(1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ. ①将x =ρcos θ,x 2+y 2=ρ2代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−2x =0②(2)将代入②,得t2+5t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.例9、在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)设点,直线与曲线的交点为、,求的值.【答案】(1);;(2)4【解析】(1)的参数方程消去参数,易得的普通方程为,曲线:,即,∴,所以曲线的直角坐标方程为:.(2)的参数方程(为参数),设对应参数为,对应参数为,将的参数方程与联立得:,得:,,所以即.例10、在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为(),将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.(1)求曲线的普通方程和极坐标方程;(2)设直线与曲线交于两点,求的取值范围.【答案】(1)的极坐标方程为,普通方程为;(2)【解析】(1),,即曲线的普通方程为,依题意得曲线的普通方程为,令,得曲线的极坐标方程为;(2)法一:将代入曲线的极坐标方程得,则,,,异号,,;法二:设直线的参数方程为(为参数,为直线的倾斜角),代入曲线的普通方程得,则,,,异号,,.4、与动点有关的取值范围和最值问题:解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题,通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系.例11、【2020·广州模拟】在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:⎩⎨⎧x =2+7cos α,y =7sin α(α为参数).以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=8cos θ,直线l 的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R ).(1)求曲线C 1的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 1,C 2在第一象限分别交于A ,B 两点,P 为曲线C 2上的动点,求△P AB 面积的最大值.解:(1)依题意得,曲线C 1的普通方程为(x -2)2+y 2=7,曲线C 1的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-3=0.直线l 的直角坐标方程为y =3x .(2)曲线C 2的直角坐标方程为(x -4)2+y 2=16, 设A ⎝⎛⎭⎫ρ1,π3,B ⎝⎛⎭⎫ρ2,π3, 则ρ21-4ρ1cos π3-3=0,即ρ21-2ρ1-3=0, 得ρ1=3或ρ1=-1(舍),又ρ2=8cos π3=4,则|AB |=|ρ2-ρ1|=1.C 2(4,0)到l 的距离d =|43|4=23,以AB 为底边的△P AB 的高的最大值为4+23,则△P AB 的面积的最大值为12×1×(4+23)=2+ 3.例12、【2020·栖霞模拟】在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos t ,y =2sin t (t 为参数,a >0),以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ+π4=-4 2. (1)设P 是曲线C 上的一个动点,当a =23时,求点P 到直线l 的距离的最小值; (2)若曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方,求实数a 的取值范围. 解:(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ+π4=-42,得到ρ(cos θ-sin θ)=-8, 因为ρcos θ=x ,ρsin θ=y , 所以直线l 的普通方程为x -y +8=0. 设P (23cos t ,2sin t ),则点P 到直线l 的距离d =|23cos t -2sin t +8|2=|4sin ⎝⎛⎭⎫t -π3-8|2=22|sin ⎝⎛⎭⎫t -π3-2|, 当sin ⎝⎛⎭⎫t -π3=1时,d min =22, 所以点P 到直线l 的距离的最小值为2 2.(2)设曲线C 上任意点P (a cos t ,2sin t ),由于曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方, 所以a cos t -2sin t +8>0对任意t ∈R 恒成立.a 2+4sin(t -φ)<8,其中cos φ=2a 2+4,sin φ=a a 2+4.从而a 2+4<8.由于a >0,解得0<a <215.即a ∈(0,215).例13、【河北省石家庄市高三数学一模考试】在平面直角坐标系,将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的12,得到曲线2C ,以坐标原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, 1C 的极坐标方程为2ρ=.(Ⅰ)求曲线2C 的参数方程;(Ⅱ)过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ,且点A 在第一象限,当四边形ABCD 的周长最大时,求直线1l 的普通方程.【解析】(Ⅰ)x 24+y 2=1,{x =2cos θy =sin θ(θ为参数) (Ⅱ)设四边形ABCD 的周长为l ,设点A (acos φ,sin φ)l =8cos θ+4sin θ=4√5(√5θ√5θ)=4√5sin (θ+φ)且cos φ=√5sin φ=√5, 所以,当θ+φ=2kπ+π2(k Z )时, l 取最大值,此时θ=2kπ+π2−φ所以2cos θ=2sin φ=45,sin θ=cos φ=√5, 此时A (√5√5), 1l 的普通方程为y =14x。

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