dt
12
1.2 导数的计算
于是方程两边 s2(t) x2(t) (16 y(t))2 对 t 求导得：
2s ds 2x dx 2(16 y) dy ,
dt
dt
dt
∵当 t 1时， x 6， y 8 ，
∴ s 62 (16 8)2 10 ，
∴ ds dt
t 1
36 64 10
匀速度从西向东飞越观察者的头顶，观察者的视线
与地面夹角 为 。求当 时， 对 t 的变化率。
3
x
解：以直升飞机飞过观察者头顶
时算起的距离为 x，显然 x ,
500
均为 t 的函数，已知飞机的速度
dx 50 ，求 时的 d 。
dt
3
dt
10
1.2 导数的计算
x 500cot , dx 500( csc2 ) d ,
1.2 参数方程的求导法则 及相关变化率问题
1.2 导数的计算
5. 参数方程确定的函数的求导法则
一般地参数方程
x y
f
(t) (t)
,tI
确定了 y 与 x
之间的函数关系。
如果函数 x (t) 存在反函数 t 1( x) ，则 y 可以看作 x 的复合函数，即 y f [ 1( x)] ，它由 y f (t) ， t 1( x) 复合而成。
14 (km / h) ， 5
负号表示甲乙两船的距离在减少。
13
1.2 导数的计算
作业
习 题 2.1（P88）
27(2)；29；41.
14
解：设经 t 小时后甲船与乙船的距离为 s km ，甲船 行驶了 x km ，乙船行驶了 y km ，
则 s2 (t ) x2(t) (16 y(t))2 ，
所建立的方程不是 s 与 t 的直接函数关系，但所求的是
v ds ，且已知 dx 6 ， dy 8 ，故借助相关变化率来求。
Hale Waihona Puke dtdt4 的点处的切线方程。
x2y a 0 2
4
1.2 导数的计算
例
1．设
x y
t ln(1 arctant
t2)
，求
dy dx
，
dx dy
。
dy
1
解
： dy dx
dt dx
dt
1t2
1
1
2t t
2
(1
1 t
)2
。
dx
dx dt
1
1
2t t
2
(1 t)2 。
dy dy
1
dt 1 t 2
y
( )sin
a sin 3
sin
dy
dy dx
d
dx
a(3cos 3 sin sin 3 cos ) , a(3cos 3 cos sin 3 sin )
d
k
dy dx
4
1 ，切点 M ( a , a ) ，
2
22
∴切线方程为
y
a 2
1 2
(x
a )
2
，即
x
2y
a 2
0。
7
1.2 导数的计算
6. 相关变化率问题 相关变化率问题 是指：在某一变化过程中变量
x, y,，它们都与变量 t 有关，且它们之间有关系式 F( x, y,) 0 ，知道了其中一些变量对 t 的变化率， 要求另外一些变量对 t 的变化率。
8
1.2 导数的计算
求相关变化率的步骤 ：
（1）建立变量 x, y,之间的关系式 F( x, y,) 0 ；
x (t) ,
dy f (t ) ,
dx (t )
t I.
3
1.2 导数的计算
例
1．设
x y
t ln(1 arctant
t2)
，求
dy dx
，
dx dy
。
例
2．求摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
在
t
2
处的切线方程。
x y a(2 ) 0
2 例 3．求三叶玫瑰线 r a sin 3 (a 为正常数) 在对应
5
1.2 导数的计算
例
2．求摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
在
t
2
处的切线方程。
dy 解： dy dt a sin t sin t ，
dx dx a(1 cos t) 1 cos t
dt
当 t 时，摆线上相应的点为 M (a( 1), a) ，
2
2
摆线在点 M 处的切线斜率为 k
dy dx
t 2
1，
故切线方程为 y a x a( 1) ，即 x y a(2 ) 0 。
2
2
6
1.2 导数的计算
例 3．求三叶玫瑰线 a sin 3
(a 为正常数) 在对应
4
的点处的切线方程。
解：利用直角坐标与极坐标间的关系，将所给极坐标方程
化为参数方程：
a
x ( )cos a sin 3 cos
2
1.2 导数的计算
定理
设有参数方程
x y
f
(t) (t)
, t I ，如果函数 x
(t) ，
y f (t) 在区间 I 上均可导且(t) 0 ， 又 x (t) 存在
dy 反函数 t 1( x) ，则 dy dt f (t) 。
dx dx (t)
dt
注意：参数式函数的导数仍是一个用参数方程表示的函数
（2）将关系式 F( x, y,) 0 两边对 t 求导（注意到 x, y, 都是 t 的函数），从而得各变量对 t 的变 化率之间的关系式；
（3）将已知的变化率（包括一些已知数据）代入并 求出所要求的变化率。
9
1.2 导数的计算
例 1．一架直升飞机在 500m 高空，以 50 m / s 的均
dt
dt
d 1 sin2 dx ,
dt 500
dt
当 时， sin 3 ， dx 50m / s ，代入上式得
3
2 dt
d
dt
3
0.075 .
负号表示 随时间 t 增加而减少。
11
1.2 导数的计算
例 2．在中午 12 点，甲船以 6 km / h 的速度向东行驶，乙船 在甲船之北16km 处以 8 km / h的速率向南行驶，求下午 1 点 两船相离的速率。