1 2
−1 1 1 2 2 = + ∫ 2(1− x ) d (1− x2 ) 12 2 0
π π
0
−∫
1 2
x 1− x
2
0
dx
=
12
1 1 + (1− x2 )2 2
3 = + −1 12 2
π
0
第三节 广义积分（反常积分）
及 x 轴所围成的开口曲
引例. 引例 曲线
和直线
边梯形的面积 可记作
x2 其含义可理解为 b b dx 1 − A = lim ∫ 2 = lim 1 x b→+∞ x 1 b→+∞
关键: 关键:
搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
例3 设
求
解: 函数可以看作由函数 y = ln u 、 u = cos v
与 v = e x 复合而成
dy 1 du dv = = − sin v = ex du u dv dx dy 1 1 x x x (sin e )e = ( − sin v )e = − x dx u cos e
−a a
0
∫−a f (x) dx = ∫−a f (x) dx + ∫0 f (x) dx
= ∫ f (−t) d t + ∫ f (x) dx = ∫ [ f (−x) + f (x) ]dx
0 0 a 0 a a
令 x = −t
=
f (−x) = f (x)时 f (−x) = − f (x)时
a a
性质3 性质 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡k，则 上 ，
∫ ∫
b
a b
f (x)dx = ∫ kdx = k ∫ dx = k(b − a)
a a
b
b
a
f (x)dx = ∫ 1dx = ∫ dx = b − a
a a
b
b
性质4 性质 定积分的区间可加性 内的任一点， 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
π
= ( x )′ cos x + x (cos x)′ + 4(ln x)′ + 0
4 = − x sin x + x 2 x cos x
三、复合函数的求导法则
定理
如果函数 u = ϕ(x)在点x可导, 而y = f(u)
在点u = ϕ(x)可导, 则复合函数 y = f[ϕ(x)]在点 x可导, 且其导数为
( e )′ = e 1 (ln x )′ = x
x x
(arccos x )′ = −
1
2
1− x 1 ( arc cot x )′ = − 2 1+ x
二、函数的和、差、积、商的求导法则 函数的和、
定理1. 定理1.
函数u = u ( x)及v = v( x)都在 点x具有导数
u( x )及v( x ) 的和、 、 、 (除分母 的和、 积 商 差
′ = µ x µ −1 (x ) (cos x)′ = − sin x
µ
(cot x)′ = − csc2 x (csc x)′ = − csc xcotx
( a x )′ = a x ln a 1 (log a x )′ = x ln a 1 (arcsin x )′ = 2 1− x 1 (arctan x )′ = 2 1+ x
b
b
b
二、定积分的简单性质 性质1 常数因子可提到积分号外 性质
∫
性质2 性质
b
a
kf (x)dx = k ∫ f (x)dx
a
b
函数代数和的积分等于它们积分的代数和。 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
b b
∫
b
a
[ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx
= ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx
a c c b
b
c
c
三、 牛顿 – 莱布尼兹公式 定理1. 定理 若
x a
则积分上限函数
Φ(x) = ∫ f (t) d t
定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 .
Φ ( x) = f ( x)
'
定理2. 定理 函数 , 则
的点外) 为 0的点外) 都在点 可导, x可导, 且
( 2 )[ u( x )v( x )] ′ = u ′( x )v( x ) + u( x )v ′( x )
(v( x) ≠ 0)
例：
设y = x cos x + 4 ln x + sin
π
7
, 求y ′
解:
y′ = ( x cos x)′ + (4 ln x)′ + (sin )′ 7
x→+∞ x→−∞
π
π
例2. 计算广义积分
t − pt 解: 原式 = − e p
1 +∞ − p t + ∫ e dt p 0
1 − pt =− 2e p 1 = 2 p
第五节 二重积分
f (x, y)dσ = ∫∫ f (x, y)dxdy ∫∫
D D
其中D是积分区域 其中 是积分区域
定理
பைடு நூலகம்
dy∫ f ( x, y) dx
a
特别当 f ( x, y) 在矩形区域 D = [a, b]×[c, d ] 连续时，有 连续时，
∫∫ f ( x, y)dσ = ∫
D
a
dx∫ f ( x, y) dy = ∫ dy∫ f ( x, y) dx
1
A= ∫
+∞ dx dx
1 y= 2 x A
1
b
1− 1 = lim =1 b→+∞ b
第三节 广义积分（反常积分）
定义1. 设 f (x) ∈C[a , + ∞) , 取b > a , 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 在区间 [a,+∞) 的广义积分, 记作 类似地 , 若 f (x) ∈C (−∞, b], 则定义
∫a
+∞
f (x) dx = F(x)
= F(+∞) − F(a) = F(b) − F(−∞) = F(+∞) − F(−∞)
∫−∞ f (x) dx = F(x) ∫−∞ f (x) dx = F(x)
+∞
b
例1. 计算广义积分 解:
= [ arctan x ] −∞
+∞
= − (− ) = π = lim arctan x − lim arctan x 2 2
dy dy du = ( 或f [ ϕ ( x )] = f ′( u )ϕ ′( x )) dx du dx
即 因变量对自变量求导, 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) 乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) .(链式法则
求导, 求导,
例 函数 y = sin 2 x，求 y ′
第一节 求导法则
dy 已 知 函 数 y= f ( x ), 求 f ( x )的 导 数 , 记 为 f ′( x )或 y ′、 dx
一、基本初等函数导数公式
(C )′ = 0 (sin x ) ′ = cos x ′ = sec 2 x (tan x ) (sec x ) ′ = sec xt an x
x = ϕ(t )
∫
b
a
f (x)dx = ∫ f [ϕ(t)] ′(t)dt ϕ
α
β
例1. 计算
解: 令 x = a sint , 则 dx = a cos t d t , 且
当x = 0 时, t = 0; x = a 时, t = π . 2
∴ 原式 =
2 2 2 a 0 cos t d t 2 π
∫
b
a
f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
a c
c
b
a
c
b
的相对位置任意时, 当 a , b , c 的相对位置任意时 例如
a < b < c,
则有
c b
a
c
b
c
∫a f (x) dx = ∫a f (x) dx + ∫b f (x) dx
∴
∫a f (x) dx = ∫a f (x) dx − ∫b f (x) dx
若 f (x) ∈C (−∞, + ∞) , 则定义
lim ∫a f (x) dx + b→+∞ ∫c f (x) dx a→−∞ lim
( c 为任意取定的常数 )
c b
引入记号
F(+∞) = lim F(x) ; F(−∞) = lim F(x)
x→+∞
x→−∞
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
∫a f (x) dx = F(b) − F(a)
b
( 牛顿 - 莱布尼兹公式 莱布尼兹公式)
记作
例1、 计算
3 dx = arctan x 解: ∫ 2 −1 1 + x −1
3
= arctan 3 − arctan(−1)
7 = − (− ) = π 3 4 12
π
π
x +1, x ≤ 1 f (x) = 1 2 , 例 2、设 、 2 x , x > 1
函数可看作由函数 y = sin u与 u = 2 x复合而成