河北省大学生数学竞赛试题及答案
一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1
lim
222222--++-+-∞→n n n n n
n 。

【解】 ))1(21(12
22222--++-+-=
n n n n n
S n
因
21x -在]1,0[上连续，故dx x ⎰1
02-1存在，且
dx x ⎰
1
2
-1=∑-=∞→-1
21
.)(1lim n i n n n i ，
所以，=
∞
→n n S lim
n dx x n 1lim
-11
2∞→-⎰
4
-1102π
==⎰dx x 。

二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1
lim 22
0c t
dt t ax x x b x =+-⎰→
【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b
，当0=b 时使用洛必达法则得到
22
022
01)(cos lim
1sin 1lim x
a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→⎰， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则
21)1(cos lim 1sin 1lim 22
220-=+-=+-→→⎰x
x x t dt t ax x x x b x ，
综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。

三、(本题满分10 分) 计算定积分⎰
+=
2
2010tan 1π
x
dx
I 。

【解】 作变换t x -=
2
π
，则
=I
22
20π
π
=
⎰dt ，
所以，4
π=
I 。

四、(本题满分10 分) 求数列}{1n
n
-
中的最小项。

【解】 因为所给数列是函数x
x
y 1-
=当x 分别取 ,,,3,2,1n 时的数列。

又)1(ln 21-=--x x
y x
且令e x y =⇒='0，
容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。

所以，x
x
y 1-=有唯一极小值e
e
e y 1)(-=。

而3
3
1
2
132>
⇒
<<e ，因此数列}{1n
n -的最小项
3
3
1。

五、(本题满分10 分) 求∑∞
=-+01n n
n e 。

【解】 考虑幂级数∑∞
=+0
1n n
n x 。

其收敛半径为 1，收敛区间为)1,1(-，
当1-=x 时，∑∑∞=∞
=+-=+0
011)1(1n n
n n n n x 收敛； 当1=x 时，∑∑∞=∞
=+=+001
1
1n n n n n x 发散，因此其收敛域为)1,1[-。

设其和函数为)(x s ，则
)1,1(-∈∀x ，x x x dt n t dt n t dt t s n n n x n x n n x
-==+=+=∑∑⎰⎰
∑⎰∞=+∞=∞
=111)(0
1
000
00。

于是， .)
1(1)1(
)(2
x x x x s -='-= 故，2121
0)()(1
--∞
=-==+∑e e e s n e n n 。

六、(本题满分10 分) 设⎰
--=x
dt t f t x x x f 0
)()(sin )(，其中f 为连续函数，求)(x f 。

【解】 原方程可写为
⎰⎰+-=x
x
dt t tf dt t f x x x f 0
)()(sin )(，
上式两端对x 求导得
⎰⎰
-=+--='x
x
dt t f x x xf x xf dt t f x x f 0
)(cos )()()(cos )( （*）
两端再对x 求导得
即 x x f x f sin )()(-=+''
这是一个二阶线性常系数非齐次方程，由原方程知0)0(=f ，由（*）式知1)0(='f 。

特征方程为
012
=+λ，i ±=λ
齐次通解为 x C x C y cos sin 21+=
设非齐次方程特解为 )cos sin (*x b x a x y +=，代入x x f x f sin )()(-=+''得 2
1
,0=
=b a。

则非齐次方程通解为
x x
x C x C y cos 2
cos sin 21++=
由初始条件 0)0(=y 和1)0(='y 可知， 0,2
1
21
==
C C 。

七、(本题满分10 分) 在过点O(0,0)和,0) A(π的曲线族0) (a asin x y >=中，求一条曲线L ，
使沿该曲线从O 到A 的积分⎰
+++L
dy y x dx y )2()1(3的值最小。

【解】 =
)(a I dx x a x a x x a dy y x dx y L
⎰⎰
+++=+++π
333]cos )sin 2(sin 1[)2()1(
3
3
44a a +
-=π。

令044)(2
=+-='a a I ，得1=a )1(舍去-=a ；又08)1(>='I ，则)(a I 在1=a 处取极小值，且a =1是I (a )在(0,+∞)内的唯一极值点，故a =1时I (a )取最小值，则所求曲线为
) (0sin x y π≤≤=x 。

八、(本题满分10 分) 设f (x )在[?1,1]上有二阶导数，且1 (1) (1)==f f ，2
1
)('' ≤
x f 。

证明： 1．2
1
)('
≤
x f ，x ∈[?1,1]。

2． f (x ) = x 在[?1,1]上有且只有一个实根。

【证明】 1. 由泰勒公式
2)1(2
)
()1)(()()1(x f x x f x f f --''+
--'+=-ξ，),1(x -∈ξ 两式相减并整理得
于是, 8)
1()1()(4)1()(4)1()(2222x x f x f x x f -++≤''-+''+≤'ηξ 由于2
1
8)1()1(max
2211=-++≤≤-x x x ， 因此，]1,1[ 1 | )(' |-∈<x x f ，。

2. 令]1,1[, - )( )(-∈=x x x f x F 。

则231)1()
1(=
--=-f F ，2
1
-1)1()1(=-=f F 。

但F (x )在[?1,1]上连续，由介值定理知，F (x )在[?1,1]上至少有一个零点。

又由1可知0 1- )(' )('<=x f x F ，故)(x F 在[?1,1]上严格单调，从而至多有一个零点。

这样F (x )在[?1,1]上有且只有一个零点，即f (x ) = x 在[?1,1] 上有且只有一个实根。

九、(本题满分10 分) 设)(x f 在)(-∞+∞，
为连续函数,则⎰⎰
=2
2
3
)(21)(a a
dx x xf dx x f x 。

【解】令⎰
=
x
dt t f t x 0
23,)()(ϕ则),()(23x f x x ='ϕ
⎰=20)(21)(x dt t tf x ψ，则),(2)(2
1
)(2322x f x x x f x x =⋅⋅='ψ
所以 )()(x x ψϕ'='
即 c x x +=)()(ψϕ c 为常数。

而 0)0()0(==ψϕ，)()(x x ψϕ=∴ 特别地 )()(a a ψϕ=
即
⎰⎰
=2
2
3
)(21)(a a
dx x xf dx x f x 。

十、(本题满分10 分) 设)(x f 是[0,1]上的连续函数，证明
11
)(1
)(≥⎰⎰
-dy e dx e y f x f 。

【证法一】 设}10,10≤≤≤≤=y x {(x, y) |D 。

由于)()(1)
()(y f x f e y f x f -+≥-，所以
1=。

【证法二】
dxdy e dy e dx e D
y f x f y f x f ⎰⎰⎰⎰
--=)()(1
)(1
)(。