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二次函数与abc关系


A、2个
C、4个
B、3个
D、5个
y
-1 o
1
x
练习
10、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示,下列结论中:①b>0;②c<0;③ 4a+2b+c > 0;④(a+c)2<b2,其中正确的个 数是 ( B )
A、4个
C、2个
B、3个
D、1个
y
o
x=1 因为a+b+c>0所以b>-a-c两边同时平方
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题: (5)a+b+c的符号: 由x=1时抛物线上的点的位置确定 a+b+c>0 点在x轴上方 a+b+c<0 点在x轴下方 点在x轴上 a+b+c=0 (6)a-b+c的符号: 由x=-1时抛物线上的点的位置确定 a-b+c>0 点在x轴上方 a-b+c<0 点在x轴下方 点在x轴上 a-b+c=0
6、无论m为任何实数,二次函数y=x2-(2-m)x+m 的图像总是过点 (C ) A.(1,3) B.(1,0) C.(-1,3) D.(-1,0)
7.(安徽)二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图,则下列a、b、 c间的关系判断正确的是 ( ) D A.ab < 0 B.bc < 0 C.a+b+c > 0 D.a-b+c < 0 a <0,b <0,c <0
2、抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的条 件是什么?
a < 0 2 b 4ac< 0
的值永远是负值的条件是什么?
x
变式:不论x取何值时,函数y=ax2+bx+c(a≠0) 你知道吗?不论x取何值时,函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是非 正数的条件是什么?
知识点三:
10、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两
个交点,则a的取值范围是 ( D )
A.a>0 B.a>- 4/9
C.a> 9/4
D.a<9/4且a≠0
11. 某幢建筑物,从 10 米高的窗口 A 用水管向 外喷水,喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面 与墙面垂直,如图所示).如果抛物线的最高点M 离墙1米,离地面40/3米,则水流落地点B离墙 的距离OB是 ( B) A.2米 B.3米 C.4米 D.5米 ①抛物线顶点M(1,40/3) 与y轴交点A(0.10)
1.抛物线y=ax2+bx+c在x轴 上方的条件是什么? a> 0 b2-4ac<0 x
变式:不论x取何值时,函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的值永远是正值的条件是什么?
你知道吗?不论x取何值时,函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是非负 数的条件是什么? a>0,b2-4ac≤0
知识点二:
二次函数 y=ax² +bx+c 的符 号问题
知识点一:
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题:
(1)a的符号: 由抛物线的开口方向确定
a>0 a<0 由抛物线与y轴的交点位置确定 (2)C的符号: c>0 与y轴的正半轴相交 与y轴的负半轴相交 经过坐标原点 c<0 c=0
开口向上 开口向下
(3)b的符号: 由对称轴的位置确定 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴 a、b同号 a、b异号 b=0
(4)b2-4ac的符号:由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点
与x轴有一个交点 与x轴无交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0
b2-4ac<0
如果y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为 A(x1,0),B(x2,0);
那么AB=|x1-x2|= |a|
C y
x2 o
x1
x
知识点二:
x
8、已知:一次函数y=ax+c与二次函数 y=ax2+bx+c,它们在同一坐标系中的大致图 象是图中的( ) C y y
o
x (A) y y (B)
练习
o
x
o
x (C)
o (D)
x
练习
9、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示,下列结论中:①abc>0;②b=2a; ③a+b+c<0;④a+b-c>0; ⑤a-b+c>0正确的 个数是 ( C )
练习
6、抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、 b、c、△的符号:
y a<0, b>0, c<0, o x △<0.
练习
7、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示,则点M(
b ,a)在 c
( D )
y
A、第一象限
C、第三象限
B、第二象限
D、第四象限
a<0,
b>0, c>0,
o
3
x
-9
图13
B
解:(1)将x=-1,y=-1;x=3,y=-9分别代入 得 1 a ( 1) 2 4 ( 1) c, 解得 a 1,
y a<0, b<0, c>0, o x △>0.
练习
4、抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、 b、c、△的符号:
y a>0, b=0, c>0, o x △=0.
练习
5、抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、 b、c、△的符号:
y a>0, b=0, c=0, o x △=0.
练习
1、抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、 b、c、△的符号:
y a>0, b<0, c&g2、抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、 b、c、△的符号:
y a>0, b>0, c=0, o x △>0.
练习
3、抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、 b、c、△的符号:
x
练习
11、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示,下列结论中下不正确的是 ( D )
A、abc>0 B、b2-4ac>0 C、2a+b>0 D、4a-2b+c<0
-1 o 1 x y
-b\2a<1,b>-2a,2a+b>0
1、抛物线y=x2-8x+m的顶点在 x轴上则 16 m= . 2、抛物线 y=x2+bx+1的顶点在 y轴上 0 则b= ________ 3、抛物线 y=x2+bx+1对称轴是直线 -4 x=2则b= ________
-1
a <0,b >0,c >0
3.(河北省)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax2+c的图像大致为 ( B )
4.(山西省)二次函数y=x2+bx+c 的图像如图所示,则函数值 y<0时,对应的x取值范围 是 -3<x<1 .
-3

.-3
5、已知二次函数y=ax2+bx+c的 图像如图所示,下列结论: ① a+b+c<0,②a-b+c>0; ③ abc>0;④b=2a 中正确个数为 (A ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 当x= 1时,y=a+b+c a <0,b <0,c>0 当x=-1时,y=a-b+c x=- b/2a=-1
所求的二次函数是 y 2x 2 3x 5
例:根据下列条件,分别求出对应的二次函数解析式
(1)已知抛物线的顶点是(1,2)且过点(2,3) 已知顶点坐标设顶点式y=a(x-h)2+k ∵顶点是(1,2) ∴设y=a(x-1)2+2,又过点(2,3) ∴a(2-1)2+2=3,∴a=1 ∴ y=(x-1)2+2,即y=x2-2x+3 (2)已知抛物线与x轴两交点横坐标为1,3且图像过(0,-3) 已知与x轴两交点横坐标,设交点式y=a(x-x1)(x-x2)
2、已知;二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1). (1) 求证 : 不论 m 为何值时 , 函数的图像与 x 轴总 有交点,并指出m为何值时,只有一个交点; (2)当m为何值时 ,函数图像过原点 ,并指出此时 函数图像与x轴的另一个交点; 2 2 若函数图像的顶点在第四象限 ,求 (1)(3) (m 1) 4 2(m 1) (m 3)m ,的取值 范围 . 无论m为何值时, 0.
抛物线与x轴总有交点,且当=0时,即m=3时, 抛物线与x轴只有一个交点. (2)另一个交点坐标为(1,0) (3)当m>-1且m≠3时,抛物线的顶点在第四象限
用待定系数法求二次函数解析式,要根据给定条件 的特点选择合适的方法来求解 一般地,在所给条件中已知顶点坐标时,可设顶点 式y=a(x-h)2+k,在所给条件中已知抛物线与x轴 两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称 轴,可设交点式y=a(x-x1)(x-x2);在所给的三个条 件是任意三点时,可设一般式y=ax2+bx+c;然后 组成三元一次方程组来求解。
由抛物线与x轴两交点横坐标为1,3,∴设y=a(x-1)(x-3),过
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