第五章曲线运动一、运动的分类1.直线运动= 0。

①匀速直线运动：F合②匀变速直线运动：F≠0；F合为恒力且与速度共线。

合为变力且与速度共线。

③非匀变速直线运动：F合2.曲线运动①匀变速曲线运动：F≠0；F合为恒力且与速度不共线。

合为变力且与速度不共线。

②非匀变速曲线运动：F合二、曲线运动1.定义：物体运动轨迹是曲线的运动。

2.条件：运动物体所受合外（或a的方向）力的方向跟它的速度方向不在同一直线上。

（vo≠0；F≠0）3.特点：①方向：某点瞬时速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向。

②运动类型：变速运动（速度方向不断变化，运动轨迹是一条曲线）。

③F≠0，一定有加速度a。

合方向一定指向曲线凹侧。

④F合⑤F可以分解成水平和竖直的两个力。

合三、运动的合成分解（即位移、速度、加速度、的合成与分解）1.定义：已知分运动求合运动叫做运动的合成；已知合运动求分运动叫做运动的分解。

运算法则：平行四边形定则、三角形法则、多边形法则。

2.合运动的性质和轨迹：由初速度和合加速度共同决定。

①两个匀速直线运动的合运动为一匀度直线运动，因为a=0。

合=②一匀速直线运动与一匀变速直线运动的合运动为一匀变速运动，因为a合恒量。

若二者共线则为匀变速直线运动，若不共线则为匀变速曲线运动。

③两个匀变速直线运动的合运动为一匀变速运动，a= 恒量。

若合初速度与合合加速度共线则为匀变速直线运动，反之，不共线则为匀变速曲线运动船v d t =m in ，θsin d x =水船v v =θtan3. 曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向夹角中，且向合力方向一侧弯曲。

（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F 2改变速度的大小，沿垂直于切线方向的分力F 1改变速度的方向。

（即切向加速度只改变速度的大小，不改变速度的方向；法向加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小）①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。

②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。

③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。

（举例：匀速圆周运动） 4.经典实例 （1）绳拉物体①合运动：是实际的运动。

对应的是合速度。

②方法：把合速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向。

（2）小船过河问题（一条宽度为L 的河流，已知船在静水中的速度为V 船，水流速度为V 水）模型一：怎样过河时间t 最短？模型二：直接位移x 最短若v 水<v 船，怎样渡河直接位移x min 最短？当v 水<v 船时，x min =d ，θsin 船v d t =， 船水v v =θcos模型三： 若v 水>v 船，怎样渡河船漂下的距离最短？间接位移x min 最短?四、平抛运动1． 定义：平抛运动竖直做自由落体运动，水平方向上做匀速直线运动。

2. 速度：0x y v v v gt=⎧⎨=⎩ 合速度:22yx v v v +=方向：oxy v gt v v ==θtan 3．位移：0212x v ty gt =⎧⎪⎨=⎪⎩合位移：x =合方向：o v gt x y 21tan ==α 4．时间由:221gt y =得 gy t 2=（由下落的高度y 决定） 5．tan 2tan θα= 速度与水平方向夹角的正切值为位移与水平方向夹角正切值的2倍。

6.平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度方向延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。

（A 是OB 的中点）。

五、斜抛运动1.定义：将物体以初速度V0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。

2.运动性质：加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线。

3.基本规律当v 水>v 船时，L v v dx 船水==θcos min， θsin 船v d t =，水船v v =θcosθθsin )cos -(min 船船水v L v v s =①水平方向上：V 0x =V 0cosθ，F 合x =0。

②竖直方向上：V 0y =V 0sinθ，F 合y =mg 。

六、斜面上的平抛运动规律七、类平抛运动八、匀速圆周运动（物体的运动轨迹是圆的运动叫做圆周运动，物体运动的线速度大小不变的圆周运动即为匀速圆周运动） （1）匀速圆周运动有关的物理量1.线速度：质点通过的圆弧长跟所用时间的比值。

222s v r r fr nr t T πωππ∆=====∆ 单位：米/秒，m/s2.角速度：质点所在的半径转过的角度跟所用时间的比值。

222f n t T ϕπωππ∆====∆ 单位：弧度/秒，rad/s3.周期：物体做匀速圆周运动一周所用的时间。

22r T v ππω== 单位：秒，s4.频率：单位时间内完成圆周运动的圈数。

考点一：沿初速度方向的水平位移：根据ma mg at b t v s ===θsin ,21,20 .sin 20θg bv s =⇒ 考点二：入射的初速度：.2sin ,'21,sin sin '002bg v t v a t a b g m mg a θθθ=⇒====考点三：P 到Q 的运动时间：.sin 2,'21,sin sin 2θθθg bt t a b g m mg a =⇒===1f T =单位：赫兹，Hz5.转速：单位时间内转过的圈数。

Nn t =单位：转/秒，r/s ，n f = (条件是转速n 的单位必须为转/秒)6.向心加速度：描述速度方向变化的物理量，方向指向圆心。

22222()(2)v a r v r f rr T πωωπ=====7.向心力：作用效果是产生加速度，方向指向圆心。

22222()(2)v F ma m m r m v m r m f rr T πωωπ======（2）三种传动方式 1. 2. 3.（3）竖直平面的圆周运动 １．“绳模型”如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。

（注意：绳对小球只能产生拉力）①小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用mg =2v m R v临界=②小球能过最高点条件：v （当v 道对球产生压力）③不能过最高点条件：（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道） ２．“杆模型”，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况（注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。

）①小球能过最高点的临界条件：v=0，F=mg （F 为支持力）②当mg-F=2v mR ,F 背离圆心，F 随v 增大而减小，且mg>F>0（F 为支持力）③当v= F=0④当mg+F=2v mR ，F 指向与圆心，F 随v 增大而增大，且F>0（F为拉力）（4）典型模型模型一：火车转弯问题：模型二：汽车过拱桥问题：a 、涉及公式：L h mg mg F =≈=θθsin mgtan 合①Rv m F 20=合②，由①②得：L Rgh v =0。

b、分析：设转弯时火车的行驶速度为v ，则： ①若v>v 0，外轨道对火车轮缘有挤压作用； ②若v<v 0，内轨道对火车轮缘有挤压作用。

NF 合 h a 、涉及公式：R v m F mg N 2=-,所以当mg R v m mg F N <-=2， 此时汽车处于失重状态，而且v 越大越明显，因此汽车过拱桥时不宜高速行驶。

b 、分析：当：mg=2v mR 则有①gR v =，汽车对桥面的压力为0，汽车出于完全失重状态； ②gR v <≤0，汽车对桥面的压力为mg F N≤<0。

③gR v >，汽车将脱离桥面，出现飞车现象。

c 、注意：同样，当汽车过凹形桥底端时满足Rv m mg F N 2=-，汽车对桥面的压力将大于汽车重力，汽车处于超重状态，若车速过大，容模型四：轻杆约束、双轨约束条件下，小球过圆周最高点：（注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力.）① 临界条件：小球到达最高点时，绳子的拉力或单轨的弹力刚好等于0， 小球的重力提供向心力。

即：gR 2=⇒=临界临界v R v m mg 。

② 小球能过最高点的条件：时当gR .gR >≥v v ， 绳对球产生向下的拉力或轨道对球产生向下的压力。

③ 小球不能过最高点的条件：gR <v （实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）。

a 、临界条件：由于轻杆和双轨的支撑作用，小球恰能到达最高点的临街速度.0=临界v b 、如图甲所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况： ①当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力F N ，其大小等于小球的重力，即F N =mg ； ②当gR 0<<v 时，轻杆对小球的支持力的方向竖直向上，大小随小球速度的增大而减小，其取值范围是g F N m 0<<；甲 乙模型五：小物体在竖直半圆面的外轨道做圆周运动：③当gR =v 时，F N =0；④当gR >v 时，轻杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大。

C 、如图乙所示的小球过最高点时，光滑双轨对小球的弹力情况： ① 当v=0时，轨道的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力F N ， 其大小等于小球的重力，即F N =mg ； ② 当gR 0<<v 时，轨道的内壁下侧对小球仍有竖直向上的支持力F N ， 大小随小球速度的增大而减小，其取值范围是g F N m 0<<； ③当gR =v 时，F N =0； ④当gR >v 时，轨道的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的弹力， 其大小随速度的增大而增大。

两种情况：a 、若使物体能从最高点沿轨道外侧下滑，物体在最高点的速度v 的限制条件是.gR v <b 、若gR v ≥，物体将从最高电起，脱离圆轨道做平抛运动。

模型六：转盘问题处理方法：先对A进行受力分析，如图所示，注意在分析时不能忽略摩擦力，当然，如果说明盘面为光滑平面，摩擦力就可以忽略了。

受力分析完成后，可以发现支持力N与mg相互抵销，则只有f充当该物体的向心力，则有μππωmgfRnmRTmRmRvmF======2222)2()2(，接着可以求的所需的圆周运动参数等。

等效处理：O可以看作一只手或一个固定转动点，B绕着O经长为R的轻绳或轻杆的牵引做着圆周运动。

还是先对B进行受力分析，发现，上图的f在此图中可等效为绳或杆对小球的拉力，则将f改为F拉即可，根据题意求出F拉，带入公式得拉FRnmRTmRmRvmF=====2222)2()2(ππω，即可求的所需参量。

mg。