河南省郑州市2018 届高三上入学考试数学试题（文）含答案郑州 2017-2018 上期高三入学测试文科数学试题卷第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A{ x N n6} ，B{ x R x23x0} ，则 A B（）{3,4,5,6}B { x 3 x6}C{4,5,6}D{ x x0或3 x 6}A．．．．2. 已知ai b 2i （ a,b R ），其中 i 为虚数单位，则 a b（）iA． -3B． -2C． -1D．13. 每年三月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生 3 人，女生 2 人，现需选出 2 名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的 2 名志愿者性别相同的概率为（）A．3B．2C．1D．3 555104.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还. ”其意思为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后到达目的地，请问第二天走了（）A． 96 里B． 48 里 C. 192里D．24里5. 已知抛物线x 28 y与双曲线y 2x21（ a0 ）的一个交点为 M , F 为抛物线的焦点，a2若 MF 5 ，则该双曲线的渐近线方程为（）A．5x 3y 0B．3x 5y 0 C.4x 5y 0D．5x 4 y 0 6.如下程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“ mMODn ”表示m除以n的余数），若输入的m, n 分别为495，135，则输出的m（）A． 0B．5C. 45D．907.ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO AB AC ，且OA AB，则向量CA在向量 CB 方向上的投影为（）A．1B．3 C.1D．3 2222x y18. 已知x, y N *且满足约束条件2x y2，则 x y 的最小值为（）x5A． 1B． 4 C.6D． 79. 定义运算：a1a2a1a4 a2 a3，将函数f (x)3sin x0 ）的图象向左平a3a41cox（x移2个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（）3A．1B．5C.7D．3 444410. 设曲线f (x)m21cos x （m R ）上任一点 ( x, y) 处切线斜率为g ( x) ，则函数y x2 g(x) 的部分图象要以为（）11.某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率新工件的体积））（原工件的体积A．8B．16C.4( 2 1)3D．12( 2 1)3 9912. 设函数f (x)1x22x2, x0a 有四个不同的解2，若关于 x 的方程 f ( x)log 2 x , x0x1, x2 , x3 , x4，且 x1x2x3x1 x21）x4，则的取值范围是（x4x32 x4A．( 3,)B． (,3) C.[ 3,3)D． (3,3]第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 S n是等差数列 { a n} 的前n项和，若 S55a4 10 ，则数列 { a n} 的公差为．14.已知 A, B,C 三点都在体积为500的球 O 的表面上，若AB43 ，ACB600，则3球心 O 到平面 ABC 的距离为．15.已知曲线 y x ln x 在点 (1,1)处的切线为 l ，若 l 与曲线y ax2(a2)x1相切，则 a．16.已知 F1 , F2x2y21(a b0) 的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、分别是椭圆b2a2F1PF2的角平分线交2PF1PF2右顶点），过点P 作x 轴于点M，若2 PM，则该椭圆的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ）17.在ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为a,b, c ，且满足 b cos A (2 c a)cos(B) .（1）求角B的大小；（2）若b 4，ABC的面积为 3 ，求ABC的周长.18. 已知某中学高三文科班学生共有800 人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取 100 人进行成绩抽样调查，先将800 人按 001， 002，, ，800 进行编号（1）如果从第8 行第 7 列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的 3 个人的编号；（下面摘取了第 7 行到第 9 行）84 42 17 53 3157 24 55 06 8877 04 74 47 6721 76 33 50 2583 92 12 067663 01 63 78 5916 95 56 67 1998 10 50 71 7512 86 73 58 0744 39 52 387933 21 12 34 2978 64 56 07 8252 42 07 44 3815 51 00 13 4299 66 02 7954（2）抽取的100 人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20 18442 .①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a, b的值：人数数学优秀良好及格优秀7205地理良好9186及格a4b②在地理成绩及格的学生中，已知a11， b7 ，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率 .19.如图，在四棱锥 P ABCD 中，PC AD CD 1AB 2 ，AB // DC ，AD CD ，2PC平面 ABCD .（1）求证：BC平面 PAC ；（2）若M为线段PA的中点，且过C , D , M三点的平面与线段PB 交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求三棱锥A CMN 的高.20. 已知圆C1: x2y2 6 x0关于直线 l1 : y 2x 1对称的圆为C.（1）求圆C的方程；（2）过点( 1,0)作直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点， O 是坐标原点，是否存在这样的直线l ，使得在平行四边形OASB 中 OS OA OB ？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由 .21. 已知函数f ( x)ln x(1a)x2x .（1）讨论函数f(x) 的单调性；（2）当a 1时，证明：对任意的x(0, ) ，有 f (x)ln x(1 a)x2a1.x请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系x 1 costxOy 中，圆 C 的参数方程为（ t 为参数），以坐标原点为极点，y sin tx轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. .（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2 sin() 2 2 ，曲线C1的极坐标方程为0 ，其中04满足 tan02 ，曲线 C 与圆C的交点为O, P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.123.选修 4-5 ：不等式选讲已知函数 f ( x)2x 1 .（1）求不等式f(x)x 1 2的解集；（2）若函数g( x) f ( x) f (x1) 的最小值为a，且m n a （m 0, n0 ），求41m n 的最小值 .试卷答案一、选择题1-5:CABAB6-10: CDBD 11、12：AD二、填空题13.214.315. 816.22三、解答题17. （ 1）∵b cos A (2 c a)cos(B) ，∴ b cos A (2 c a)( cos B) .由正弦定理可得，sin B cos A(2sin C sin A)cos B ，即 sin( A B)2sin C cos B sin C又角 C 为ABC 内角， sin C0 ，∴ cos B 1，又 B(0, ) ，∴ B2. 23（2）有S ABC 13 ，得 ac4 . ac sin B2又 b2a2c2ac ( a c) 2ac 16∴ a c 2 5，所以 ABC 周长为4 25.18.解：（1） 785，667， 199.（2）①7 9a30%，∴ a14 ； b10030 (20 18 4) (5 6) 17 .100② a b 100(7205) (918 6)431.因为 a 11 ， b7 ，所以 a, b 的搭配：(11,20) ， (12,19) ， (13,18) ， (14,17)， (15,16) ， (16,15) ， (17,14) ， (18,13) ， (19,12) ，(20,11) ， (21,10) ， (22,9)， (23,8) ， (24,7)，共有 14 种 .设 a 11 ， b7 时，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件 A ，a5 b .事件 A 包括：(11,20)，(12,19)，共 2 个基本事件；P( A)2121，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为14. 147719. （ 1）证明：连接AC ，在直角梯形ABCD 中，AC AD 2DC 2 2 2 ，BC( AB CD )2AD 222 ，所以 AC 2BC2AB2，即 AC BC .又 PC平面 ABCD ，∴ PC BC ，又 AC PC C ，故 BC平面 PAC .（2）N为PB的中点，因为 M 为 PA 的中点，N为 PB 的中点，所以MN // AB，且MN 1AB 2 . 2又∵ AB // CD ，∴ MN // CD ，所以 M , N , C, D 四点共面，所以点 N 为过 C , D , M 三点的平面与线段PB交点.因为 BC平面 PAC ， N 为PB的中点，所以N 到平面 PAC 的距离 d 1BC2 .1S ACP1112 2又SACM AC PC 2 ，所以 V N ACM22.22233由题意可知，在直角三角形 PCA 中， PA2 22 3 ， CM 3 ，AC PC 在直角三角形 PCB 中， PBBC 2 PC 22 3 ， CN3 ，所以 S CMN 2 .设三棱锥 A CMN故三棱锥 A CMN的高为 h ， V N ACM1 2 h2 VA CMN，解得 h233的高为220. 解：（1）圆 C 1 化为标准为 ( x 3)2 y 2 9 .设圆 C 1 的圆心 C 1(3,0) 关于直线 l 1 : y 2x1的对称点为 C (a, b) ，则 k CC k 11 ，1且 CC 的中点 M (a3 , b) 在直线 l : y 2x1上，12 2 1b 21a3所以有，b(a3)1 02a 1解得2b所以圆 C 的方程为 ( x 1)2 ( y 2)2 9 .（2）由 OS OA OB BA ，所以四边形 OASB 为矩形，所以 OA OB ，是使 OAOB ，必须使 OA OB0 ，即： x 1 x 2 y 1 y 2 0 .①当直线 l 的斜率不存在时，可得直线l 的方程 x1 ，与圆 C( x 1)2( y 2)2 9交于两点A( 1, 5 2) ， B( 1,5 2) .因为 OA OB( 1)(1) ( 52)(5 2)0 ，所以 OA OB ，所以当直线 l 的斜率不存在时，直线 l : x1满足条件 .②当直线 l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为 yk( x 1) .设 A( x 1, y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ，由 ( x 1)2( y 2)29，得y k( x1)(1 k2 ) x2(2k24k2)x k24k40由于点 (1,0) 在圆 C 内部，所以0 恒成立.x1,2(2k 24k2)(2k24k2)24(1 k 2 )(k 24k 4)2(1k 2 )x1x22k 24k2，x1x2k24k4 1k21k2要使 OA OB ，必须使OA OB0，即：x1 x2y1 y20，也就是：k 24k *4k2( x11)(x21)0 1 k 2整理得： (1k 2 )k24k4k 22k 24k2k 20 .1k 21k2解得： k1，所以直线 l 的方程为y x. 1存在直线 x 1 和 y x1，它们与圆 C 交于 A, B 两点，且四边形 OASB 对角线相等.21. 解：（1）由题知f'( x)2(1a) x2x1（ x0 ），x当 a1时，由f'( x)0得 2(1a) x2x10且98a ，x11 9 8a， x2 1 9 8a 4(1a)4(1a)①当 a 1 时， f (x) 在(0,1)上单调递增，在(1,) 上单调递减；②当 a 1时， f (x) 在(0, x2)上单调递增，在( x2 ,) 上单调递减；③当 a9时， f ( x) 在 (0,)上单调递增；89④当a1时， f ( x) 在(0, x2)和(x1,) 上单调递增，在 ( x2 , x1) 上单调递减.8（2）当a 1 时，要证 f ( x)ln x(1a)x2a1在 (0,)上恒成立，ln x x只需证 ln x x a 1 在 (0,) 上恒成立，x令 F ( x) ln xx ， g( x) ln x 1 a ，x因为 F ' ( x)1 1 ，x易得 F ( x) 在 (0,1) 上递增，在 (1,ln x'由 g( x)1 a 得 g ( x)) 上递减，故 F ( x) F (1) 1 1 ln xln x1x 2x 2（ x0 ） .当 0 xe ， g ' (x) 0 ；当 x e 时， g ' ( x) 0 .所以 g( x) 在 (0, e) 上递减，在 (e,) 上递增 .所以 g(x) g(e)1 1 a .e1 1 又 a1，∴1 a 1 ，即 F ( x)max g( x) min ，ee所以 ln xxln x1) 在 (0,)上恒成立，a(xxln x 故 a1时，对任意的 x(0,) ， f ( x)a( x 1) 恒成立 .x22. （ 1）圆 C 的普通方程为22( x1)y，又 xcos， ysin ，所以圆 C 的1极坐标方程为2cos ；12cos112 5（2）设 ( 1, 1 ) 为点 P 的极坐标，则有，解得5tan 12tan122 2(sin 2 cos cos 2 sin) 22，解得225设 ( 2 , 2 ) 为点 Q 的极坐标，4 4 3 .tan22tan22 由于2 ，所以 PQ12 45 ，所以线段 PQ 的长为 4 5115153x, x123. （ 1） f ( x)x 1x 2,1 x 1 ，23x, x12当 x 1时， 3x 2 ，得 x2x；，即3当 1x 1时， x 2 2 ，得 x0，即 0 x 1 ；221 21 2当 x 时， 3x 2 ，得 x 3，即x.223综上，不等式的解集为(0, 2) .3（2）由条件得 g(x) 2x 1 2x 3 (2 x 1) (2 x 3)2 ，当且仅当x [ 1 , 3] 时，其最小值 a2 ，即 m n 2 .2 2又41 1 ( m n)( 4 1 ) 1 (5 4n m ) 1 (52 4n m ) 9 ，m n 2 m n 2 m n 2m n2所以41 的最小值为 9，当且仅当 m4 ， n 2 时等号成立 . m n 23 3。