2018年河南省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣3≤2x﹣1≤3}，集合B={x|x﹣1＞0}；则A∩B=（）A．（1，2）B．[1，2]C．[1，2）D．（1，2]2．（5分）已知i为虚数单位，若，则a b=（）A．1B．C．D．23．（5分）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件4．（5分）已知函数f（x）=e x在点（0，f（0））处的切线为l，动点（a，b）在直线l上，则2a+2﹣b的最小值是（）A．4B．2C．D．5．（5分）展开式中x2的系数为（）A．20B．15C．6D．16．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出n的值为（）A．14B．13C．12D．117．（5分）三国时期我国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中直角三角形中较小的锐角α满足sinα+cosα=，现在向该正方形区域内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数，，则f（x）的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，﹣2]C．[2，+∞）D．[﹣2，+∞）9．（5分）设F1、F2是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是（）A．x±y=0B．x±y=0C．x±2y=0D．2x±y=0 10．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积是（）A．20πB．C．25πD．22π11．（5分）已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，，若，则实数=（）A．B．C．D．312．（5分）定义域为[a，b]的函数y=f（x）的图象的两个端点分别为A（a，f （a）），B（b，f（b）），M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b（0＜λ＜1），向量．若不等式恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上为“k函数”．已知函数y=x3﹣6x2+11x﹣5在[0，3]上为“k函数”，则实数k的最小值是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=x﹣2y的最小值为．14．（5分）如图，已知点A（0，1），点P（x0，y0）（x0＞0）在曲线y=x2上移动，过P点作PB垂直x轴于B，若图中阴影部分的面积是四边形AOBP面积的，则P点的坐标为．15．（5分）已知抛物线x2=4y，斜率为的直线交抛物线于A，B两点．若以线段AB为直径的圆与抛物线的准线切于点P，则点P到直线AB的距离为．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和是S n，且a n+S n=3n﹣1，则数列{a n}的通项公式a n=．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知a2+4S=b2+c2．（1）求角A；（2）若，，求角C．18．（12分）某公司要根据天气预报来决定五一假期期间5月1日、2日两天的宣传活动，宣传既可以在室内举行，也可以在广场举行．统计资料表明，在室内宣传，每天可产生经济效益8万元．在广场宣传，如果不遇到有雨天气，每天可产生经济效益20万元；如果遇到有雨天气，每天会带来经济损失10万元．若气象台预报5月1日、2日两天当地的降水概率均为40%．（1）求这两天中恰有1天下雨的概率；（2）若你是公司的决策者，你会选择哪种方式进行宣传（从“2天都在室内宣传”“2天都在广场宣传”这两种方案中选择）？请从数学期望及风险决策等方面说明理由．19．（12分）如图，在边长为的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF 翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．（1）求证：PO⊥平面ABD；（2）当PB与平面ABD所成的角为45°时，求平面PBF与平面PAD所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知动点P与A（﹣2，0），B（2，0）两点连线的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C，过点E（1，0）的直线交曲线C于M，N两点．（1）求曲线C的方程；（2）若直线MA，NB的斜率分别为k1，k2，试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数．（1）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（2）若函数有两个极值点，试判断函数g（x）的零点个数．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知直线l：，曲线C：（θ为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，若|AB|≥3，求实数m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a．（1）求解不等式f（x）＞3；（2）对于∀x1，x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．2018年河南省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：由集合A中的不等式解得：﹣1≤x≤2，即A=[﹣1，2]；由集合B中的不等式解得：x＞1，即B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，以及不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．【分析】利用复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵，∴=，∴．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．3．【分析】A先写出逆命题再利用不等式性质判断；B中“∃x∈R，x2﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可；D应为必要不充分条件．【解答】A“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，m=0时不正确；B中“∃x∈R，x2﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题，结论正确；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可，错误；D应为必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，问题涉及不等式性质、复合命题真假判断、全称命题及特称命题、命题的否定、充要条件等，考查面较广．4．【分析】根据题意，由函数的解析式以及导数的几何意义计算可得切线l的方程，将动点（a，b）的坐标代入切线的方程可得b=a+1，进而可得2a+2﹣b=2a+2﹣（a+1）=2a+，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=e x，有f（0）=e0=1，即切点的坐标为（0，1），f（x）=e x，则f′（x）=e x，有f′（0）=e0=1，即切线的斜率为1，则函数f（x）=e x在点（0，f（0））处的切线为y﹣1=x，即y=x+1，若动点（a，b）在直线l上，则b=a+1，2a+2﹣b=2a+2﹣（a+1）=2a+≥2=，即2a+2﹣b的最小值是，故选：D．【点评】本题考查曲线的切线方程以及基本不等式的性质，关键是分析a、b的关系．5．【分析】利用二项式定理展开即可得出．【解答】解：=展开式中x2的系数=+=20．故选：A．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=1，n=3，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，S=，n=5，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，S=，n=7，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，S=，n=9，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，S=，n=11，不满足退出循环的条件；第六次执行循环体后，S=，n=13，满足退出循环的条件；帮输出的n=13，故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．【分析】求出sinα，从而求出三角形的三边的关系，分别表示出大正方形和小正方形的面积，求商即可．【解答】解：由，解得：sinα=，（sinα=舍），不妨，三角形斜边的长即正方形的边长是5，则较小直角边的长是3，较大直角边的长是4，故小正方形的边长是1，故大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，故满足条件的概率p=，故选：A．【点评】本题考查了几何概型问题，考查三角函数，是一道中档题．8．【分析】先利用二次函数求出内层函数u=sinx+cos2x﹣1=sinx﹣sin2x在的值域，然后利用对数函数的单调性可求出函数f（x）的取值范围．【解答】解：令u=sinx+cos2x﹣1=sinx﹣sin2x=，由于，则0＜sinx＜1，所以，0＜u，所以，log0.5u≥log0.5=2，因此，函数f（x）的取值范围是[2，+∞），故选：C．【点评】本题考察三角函数与对数函数的值域，问题的关键在于求出内层函数的值域，然后利用对数函数的单调性来求原函数的取值范围，属于中等题．9．【分析】设|PF1|＞|PF2|，由已知条件求出|PF1|=4a，|PF2|=2a，e=，进而求出b=，由此能求出双曲线C：=1的渐近线方程．【解答】解：设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2﹣2|PF1|•|F1F2|cos30°，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣2×4a×2c×，同时除以a2，化简e2﹣2e+3=0，解得e=，∴c=，∴b==，∴双曲线C：=1的渐近线方程为y==±，即=0．故选：B．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．10．【分析】几何体为四棱锥，根据三视图判断四棱锥的一个侧面与底面垂直，判断各面的形状及三视图的数据对应的几何量，求出外接球的半径，可得答案．【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，满足侧面PAD⊥底面ABCD，△PAD为等腰直角三角形，且高为，可知底面外接圆心为对角线的交点，三角形PAB的外接圆O′半径为r，则（﹣r）2+4=r2．解得r=，底面外接圆E的半径为AE==．可求得球O的半径为：R==．外接球O的表面积为：=．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求四棱锥外接球的半径，根据三视图判断几何体的结构特征是关键．11．【分析】由题意可设，，（k≠0）．由此求得a12，b6，则答案可求．【解答】解：由题意可设，，，（k ≠0）．则a12=S12﹣S11=288k﹣12k﹣242k+11k=45k．b6=T6﹣T5=36k+6k﹣25k﹣5k=12k．∴实数=．故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质，考查等差数列前n项和的应用，是中档题．12．【分析】本题求解的关键是得出M、N横坐标相等，将恒成立问题转化为求函数的最值问题．【解答】解：由题意，M、N横坐标相等，||≤k恒成立，即k恒大于等于||，则k≥||的最大值，所以本题即求||的最大值．由N在AB线段上，得A（0，﹣5），B（3，1），AB方程y=2x﹣5，由图象可知，MN=y1﹣y2=x3﹣6x2+11x﹣5﹣（2x﹣5）=x3﹣6x2+9x，x∈[0，3]，设f（x）=x3﹣6x2+9x，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），x∈[0，3]，由f′（x）＞0，得0＜x＜1，由f′（x）＜0，得1＜x＜3，∴f（x）在[0，3]上的最大值为f（1）=4．∴||的最大值为4．∴实数k的最小值是4．故选：D．【点评】本题考查实数的最小值的求法，考查函数性质、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．【分析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；平移目标函数z=x﹣2y知，当目标函数过点A时，z取得最小值，由，解得A（0，3），∴z的最小值为0﹣2×3=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，是基础题．14．【分析】由P点的坐标求出梯形AOBP的面积与阴影部分的面积，再根据面积比列方程求得结果．【解答】解：由题意点P（x0，y0），则梯形AOBP的面积为（1+y0）x0=（1+）x0，且阴影部分的面积为S=x2dx=x3=；又阴影部分的面积是梯形AOBP面积的，∴=•（1+）x0，解得x0=0或x0=±1；取x0=1，则y0=1，∴P点的坐标为（1，1）．故答案为：（1，1）．【点评】本题考查了利用定积分求面积的应用问题，是基础题．15．【分析】设直线AB斜率为k，求出AB的中点，根据切线的性质得出k的值，从而求出P点坐标和AB的方程，得出答案．【解答】解：设直线AB的方程为y=﹣x+b，代入x2=4y可得：y2﹣（2b+1）y+b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），则y0=（y1+y2）=，y1+y2=2b+1，y1y2=b2，∴|AB|==•．∵线段AB为直径的圆与抛物线的准线切于点P，∴2（+1）=•．解得：b=1．∴直线AB的方程为y=﹣x+1，即x+2y﹣2=0．∴P点坐标为（﹣1，﹣1），∴P到直线AB的距离为d==．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的性质，点到直线的距离计算，直线与圆的位置关系，属于中档题．16．【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式．【解答】解：数列{a n}的前n项和是S n，且a n+S n=3n﹣1①，+S n﹣1=3（n﹣1）﹣1②，当n≥2时，a n﹣1①﹣②得：2a n﹣a n﹣1=3．则：，所以：，所以：（常数）．a1+S1=3﹣1，解得：a1=1．所以：数列{a n﹣3}是以a1﹣3=﹣2为首项，以为公比的等比数列．所以：，整理得：．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．【分析】（1）根据余弦定理和三角形的面积公式化简即可得出sinA=cosA，从而得出A的值；（2）利用正弦定理求出B，再根据内角和求出C．【解答】解：（1）∵，a2=b2+c2﹣2bccosA，∴a2+4S=b2+c2﹣2bccosA+2bcsinA=b2+c2，∴tanA=1．又∵A∈（0，π），∴．（2）在△ABC中，由正弦定理，得，即．∵b＞a，0＜B＜π，∴或，∴或．【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，属于中档题．18．【分析】（1）设事件A为“这两天中恰有1天下雨”，利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出这两天中恰有1天下雨的概率．（2）2天都在室内宣传，产生的经济效益为16万元．设某一天在广场宣传产生的经济效益为X万元，分别求出P（X=﹣10）=0.4，P（X=20）=0.6，从而求出X的分布列和E（X），从而选择“2天都在室内宣传”．【解答】解：（1）设事件A为“这两天中恰有1天下雨”，则P（A）=0.4×0.6+0.6×0.4=0.48．所以这两天中恰有1天下雨的概率为0.48．（2）2天都在室内宣传，产生的经济效益为16万元．设某一天在广场宣传产生的经济效益为X万元，P（X=﹣10）=0.4，P（X=20）=0.6，∴X的分布列为：X﹣1020P0.40.6所以E（X）=（﹣10）×0.4+20×0.6=8（万元）．所以两天都在广场宣传产生的经济效益的数学期望为16万元．因为两种方案产生经济效益的数学期望相同，但在室内活动收益确定，无风险，在广场宣传虽然冒着亏本的风险，但有产生更大收益的可能，故选择“2天都在广场宣传”【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．【分析】（1）由EF⊥AC，得PO⊥EF．再由面面垂直的性质可得PO⊥平面ABD；（2）以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，连接BO，可得∠PBO为PB与平面ABD所成的角，即∠PBO=45°，则PO=BO．设AO∩BD=H，求解三角形可得BD、HB、HC的长度．进一步求得PO、OH的长度．得到所用点的坐标，分别求出平面PAD、平面PBF的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PBF与平面PAD所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO⊂平面PEF，∴PO⊥平面ABD；（2）解：如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，连接BO，∵PO⊥平面ABD，∴∠PBO为PB与平面ABD所成的角，即∠PBO=45°，∴PO=BO．设AO∩BD=H，∵∠DAB=60°，∴△BDC为等边三角形，∴，，HC=3．设PO=x，则OH=3﹣x，由PO2=OH2+HB2，得x=2，即PO=2，OH=1．∴P（0，0，2），A（4，0，0），，，．设平面PAD、平面PBF的法向量分别为，，由，取a=1，得．同理，得，∴，∴平面PBF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．20．【分析】（1）设点P（x，y）（x≠±2），由动点P与A（﹣2，0），B（2，0）两点连线的斜率之积为，能求出曲线C的方程．（2）设MN：x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MB的斜率为k3，由题知，A（﹣2，0），B（2，0），由，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出为定值．【解答】解：（1）设点P（x，y）（x≠±2），∵动点P与A（﹣2，0），B（2，0）两点连线的斜率之积为，∴由题知，，整理，得曲线C的方程为：．（2）由题意，知直线MN的斜率不为0，故可设MN：x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MB的斜率为k3，由题知，A（﹣2，0），B（2，0），由，消去x，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，∴，∴==．又∵点M在椭圆上，∴，∴，为定值．【点评】本题考查曲线方程的求法，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．【分析】（1）令，由题意知y=ϕ（x）的图象与y=a的图象有两个交点，求出函数Φ（x）的导数，分析函数的单调性，由数形结合法分析可得答案；（2）根据题意，求出函数g（x）的导数g′（x），分析可得g′（x）=有两个不同的根，结合导数与函数单调性的关系，分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，令，由题意知y=ϕ（x）的图象与y=a 的图象有两个交点．又由．当0＜x＜1时，ϕ'（x）＞0，∴ϕ（x）在（0，1）上单调递增；当x＞1时，ϕ'（x）＜0，∴ϕ（x）在（1，+∞）上单调递减．∴ϕ（x）max=ϕ（1）=1．又∵x→0时，ϕ（x）→﹣∞，∴x∈（0，1）时，ϕ（x）∈（﹣∞，1）．又∵x＞1时，ϕ（x）∈（0，1）．综上可知，当且仅当a∈（0，1）时，y=a与y=ϕ（x）的图象有两个交点，即函数f（x）有两个零点．（2）因为函数g（x）有两个极值点，由g'（x）=lnx+1﹣ax=0，得有两个不同的根x1，x2（设x1＜x2）．由（1）知，0＜x1＜1＜x2，0＜a＜1，且，且函数g（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，则=．令，则=，所以函数h（t）在（0，+∞）上单调递增，故g（x1）＜g（1）=0，g（x2）＞g（1）=0．又x→0，；x→+∞，g （x）→﹣∞，所以函数g（x）恰有三个零点．【点评】本题考查利用函数的导数分析函数的性质，注意正确计算函数的导数．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用点到直线的距离公式求出结果．【解答】解：（1）直线l：，展开可得，化为直角坐标方程为，曲线C：，可化为（x﹣1）2+y2=3．（2）∵曲线C是以（1，0）为圆心的圆，圆心到直线l的距离，∴，∴，解得0≤m≤2．∴实数m的取值范围为[0，2]．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（1）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出f（x）的最小值和g（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）由或或，解得：x＜0或x＞，∴不等式的解集为：（﹣∞，0）∪（，+∞）；（2）当x=时，f（x）min=；g（x）max=|a+1|+a，由题意得f（x）min≥g（x）max，得|a+1|+a≤，即|a+1|≤﹣a，∴，解得：a≤．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查求函数的最值问题，考查转化思想，是一道中档题．。