作为度量误差 f (x) － p (x) 的“大小”的标准
在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近
对于任意给定的一个小正数 >0，如果存在函数p (x)，使不等式
max f (x) p(x)
a xb
成立，则称该函数p (x)在区间[a, b]上一致逼近或均匀逼近 于函数f (x)。
(二) 平方逼近：
切比雪夫多项式Tn (x)，当n为奇数时为奇函数；
n为偶数时为偶函数。
Tn (x) cos[n arccos(x)] cos(n ncar cos x)
(1)n cos(narc cos x) (1)n Tn (x)
(4) Tn (x)在区间[-1, 1]上有n 个不同的零点
xk
cos (2k 1)
2n
,
(k 1, 2, , n)
(5) Tn (x) 在[-1, 1]上有n + 1个不同的极值点
xk
cos k
n
(k 0, 1, 2, , n)
使Tn (x)轮流取得最大值 1 和最小值 -1。
(6) 切比雪夫多项式的极值性质 Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, …)。
1．权函数
定义7.1 设 (x)定义在有限或无限区间[a, b]上，
如果具有下列性质：
(1) (x) ≥0，对任意x [a, b]，
(2) 积分
b
x
n
( x)dx
存在，(n
=
0,
1,
2,
…)，
a
b
(3) 对非负的连续函数g (x) 若 g(x)(x)dx 0 a
则在(a, b)上g (x) 0
3．其它常用的正交多项式
(1) 第二类切比雪夫多项式
我们称这个函数中任何两个函数在[- , ]上是正交
的，并且称这个函数系为一个正交函数系。
若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数， 使之成为：
1 , 1 cos x, 1 sin x, , , 1 cos nx, 1 sin nx
2
那么这个函数系在[- , ]上不仅保持正交的性质，
而且还是标准化的(规范的)
( j, k 0, 1, )
( Ak是常数)
则称函数系{k (x)}是[a, b]上带权 (x)的正交函数系，
特别地，当Ak 1时，则称该函数系为标准正交函数系。
若定义7.4中的函数系为多项式函数系，则称为以 (x)
为权的在[a, b]上的正交多项式系。并称pn(x)是[a, b]上
带权 (x)的n次正交多项式。
mn
(2) 递推关系 相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：
p0
(x)
1,
p1(x) x
pn1 (x)
2n 1 n 1 xpn (x)
n n 1
pn1 (x)
(n 1, 2, )
(3) 奇偶性：
当n为偶数时，pn (x)为偶函数； 当n为奇数时，pn (x)为奇函数。 (4) pn (x)的n个零点都是实的、相异的，且全 部在区间[-1, 1]内部。
定理7.1 在-1≤x ≤1上，在首项系数为1的一切n次多项式Hn (x)中
T~n (x)
1 2 n 1
Tn (x)
与零的偏差最小，且其偏差为 1
2 n1
即，对于任何 p(x) H n (，x) 有
1 2 n 1
max
1 x1
T~n
(x)
0
max
1 x1
p(x) 0
2．勒让德(Legendre)多项式
定义7.6 多项式
pn
(x)
1 2n
n!
dn dx n
[(x 2
1) n
]
称为n次勒让德多项式。 勒让德多项式的性质： (1) 正交性
(n 0, 1, 2, )
勒让德多项式序列{pn(x)}是在[-1, 1]上带权 (x) = 1
的正交多项式序列。
0
mn
1 1
pm
(x)
pn
(x)dx
2 2n 1
(x) 1
1 x2 的正交多项式序列。且
0,
1 1
1 1
x2
Tm (x)Tn (x)dx
2
,
,
mn mn0 mn0
(2) 递推关系 相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式：
TT0n(1x()x) 1,2
T1 (x) x Tn (x)
x
Tn1
(
x)
(n 1, 2, )
(3) 奇偶性：
采用
b
[
f
(x)
p( x)]2 dx
a
作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼近
或均方逼近。
§1 正交多项式 一、正交函数系的概念 考虑函数系 1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，connx，sinnx，…
此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间[- , ]
上的积分都等于0 ！
3．正交性
定义7.3 设 f (x)，g(x) C [a, b] 若
b
( f , g) a (x) f (x)g(x)dx 0
则称f (x)与g (x)在[a, b]上带权 (x)正交。
定义7.4 设在[a, b]上给定函数系，若满足条件
( j (x), k (x)
0,
Ak
jk 0,
jk
称 (x)为[a, b]上的权函数
2．内积
定义7.2 设f (x)，g (x) C [a, b]， ()是[a, b]上的权函数，
b
则称 ( f , g) (x) f (x)g(x)dx a
为 f (x) 与 g (x)在 [a, b]上以 (x)为权函数的内积。
内积的性质： (1) (f, f )≥0，且 (f, f )=0 f = 0； (2) (f, g) = (g, f )； (3) (f1 + f2, g ) = (f1, g) + (f2, g)； (4) 对任意实数k，(kf, g) = k (f, g )。
数值分析计算方法第七章
函数逼近问题的一般提法：
对于函数类A中给定的函数f (x)，要求在另一类较简单 的且便于计算的函数类B( A)中寻找一个函数p (x)，使p (x) 与f (x)之差在某种度量意义下最小。
最常用的度量标准： (一) 一致逼近
以函数f (x)和p (x)的最大误差 max f (x) p(x) x[ a ,b ]
二、常用的正交多项式 1．切比雪夫(чебыщев)多项式 定义7.5 称多项式
Tn (x) cos(narccos x)
(1 x 1, n 0, 1, 2)
为n 次的切比雪夫多项式(第一类)。
切比雪夫多项式的性质：
(1) 正交性：
由{ Tn (x)}所组成的序列{ Tn (x)}是在区间[-1, 1]上带权