面间距的计算
该文主要探讨三个方面的问题：
1 面指数为（123h h h ）的晶面族的面间距的计算
2 密勒指数指数为（h k l ）的晶面族的面间距的计算
3 复式格子中指定的两族相互平行的晶面之间面间距的多值性分析
第一个问题的分析
同老师课堂上所讲，正格子中的一族晶面（123
h h h ）与一个倒格矢点
123112233h h h K h b h b h b =++
相对应；正格子中的一族晶面（123h h h ）
与倒格矢
1
2
311
22
33h h h K h b h b h b =++
正交；并且正格子（123h h h ）晶面系的面间距为123
123
2h h h h h h d K π=。
第二个问题的分析
首先明确密勒指数与面指数的区别。
两者均可以用来标志不同族的晶面，且标志方法相
同。
即取定原点和坐标轴，找出晶面族中任一晶面在轴矢上的截距，截距取倒数，再化为互质的整数。
两者的区别在于表示晶面时的参考坐标系不同，即选取坐标轴的基矢不同：面指数取原胞的基矢方向为坐标轴的方向，密勒指数取晶胞的基矢方向为坐标轴的方向。
原胞是晶体的最小重复单元，而晶胞则是对称性较高的单元，通常比原胞大。
同一个晶面，参考坐标系不同，面指数与密勒指数一般不相同。
例如对于面心立方晶格，密勒指数为（100）和（001）的面，其面指数分别为（101）和（110）。
相同的指数，不同的参考坐标系，晶面一般不同，面间距也有差别。
对于简单格子，它的晶胞即原胞，所以密勒指数（h k l ）的晶面族的面间距的计算即面指数（h k l ）的晶面族的面间距计算，此时可用公式2hkl hkl
d K π=
来计算。
然而对于非简单格子（即体心，面心，底心格子），晶胞除顶角位置（可设想为基元的位置）有原子外，非顶角的面心（体心，底心）还有原子。
所有原子的位置不能全用
R h a k b lc
=++
（h, k, l 取整数）去概括。
这样再用公式2hkl hkl
d K π=来计算就会出现问题。
从图一可以很清楚地说明这个问题。
如果晶体是简立方晶体，则在一个立方体内(即在一个晶胞内)只能画出一个（110）面ABCD ，
这时的面间距为
110
2a K π=个（110）晶面A ’B ’C ’D ’和A ”B ”C ”D ”，这时其面间距仅是前者的1/2
，即/a
由上可得，在计算面间距时，必须采用与原胞基矢相应的倒格矢，即求出与密勒指数（h k l ）相对应的面指数（123h h h ）。
这里介绍一种通过晶面的法线方向作为桥梁来计算的方法。
在笛卡尔坐标系中，我们可以分别定义出两种参考系的基矢：原胞的基矢123a a a
和晶胞的基矢a b c
（均用i j k
来表示）则在两种参考系中，我们根据面指数和密勒指数分别求出相应晶面的法线矢量，而矢量本身是不依赖于参考系的，所以根据矢量不变来确定h k l 和123h h h 三者间的关系。
具体以面心立方晶格为例，晶胞和原胞的基矢的选择如图。
对于晶胞，其三个基矢为 a a i b a j c a k ===
，（h k l ）晶面的法线矢量表成2()h k l n i j k a a a π=++
（法线矢量的求法：12n l l =⨯
，12l l 为晶面上任意两不平行的方向）
对于原胞，三个基矢为其倒格矢为
则（123h h h ）晶面的法线矢量'
3122()2()2()h h h n i j k i j k i j k a a a
πππ=+-+-+++-+ 由'n n =
可得123123123::():():()h k l h h h h h h h h h =-++--++
可以解出 123::():():()h h h h
k k l l h =++
+，将123h h h 化为互质的整数即得面指数。
最后可以带入简单晶面计算检验一下结论：密勒指数为（100）和（001）的面，其面指数分别为（101）和（110）。
第三个问题的分析
复式格子是基元中包含两个以上原子（离子）的晶体。
复式格子中不同原子各自所构
成的子晶格与晶体的布拉菲格子相同。
整个复式格子可以看成是由几个子晶格套构而成。
在
计算复式格子的面间距的问题时常常要考虑面间距的多值性。
以闪锌矿结构的半导体晶体GaAs为例，求Ga(1,1,1)晶面与As (1,1,1)晶面间的距离。
如图，闪锌矿结构为两个面心立方晶格沿着对角线方向平移1/4长度后套构而成，也即Ga 和As 原子各自组成一个面心立方的子晶格，然后两个子晶格沿对角线方向位移1/4长度套构而成。
（1,1,1）晶面的法线方向即是对角线方向，而Ga原子与As原子在对角线方向相距1/4
4a，所以Ga的（1,1,1）晶面与As的（1,1,14a。
又面
心立方子晶格中（1,1,1/3a，因此Ga（1,1,1）与As(1,1,1)晶面的面间
距也可以说是/3/4/12
-=。
如图，Ga子晶格的（1,1,1）晶面ABCDEF与As
a a a
子晶格的（1,1,1）晶面GHI和G’H’I’/12a4a。
因为金刚石结构与闪锌矿结构类似，均为两个面心立方晶格沿对角线方向平移1/4长度后套构而成，不同的是金刚石为同种原子构成，这样金刚石的（1,1,1）晶面的面间距也有两
12a4a。