实验2 MATLAB数值计算、符号运算功能一、实验目的1、掌握建立矩阵、矩阵分析与处理的方法。

2、掌握线性方程组的求解方法。

3、掌握数据统计和分析方法、多项式的常用运算。

4、掌握求数值导数和数值积分、常微分方程数值求解、非线性代数方程数值求解的方法。

5、掌握定义符号对象的方法、符号表达式的运算法则及符号矩阵运算、符号函数极限及导数、符号函数定积分和不定积分的方法。

二、预习要求（1）复习4、5、6章所讲内容；（2）熟悉MATLAB中的数值计算和符号运算的实现方法和主要函数。

三、实验内容1、已知2961820512885A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求A的特征值及特征向量，并分析其数学意义。

>> A=[-29,6,18;20,5,12;-8,8,5];>> [V,D]=eig(A)V =0.7130 0.2803 0.2733-0.6084 -0.7867 0.87250.3487 0.5501 0.4050D =-25.3169 0 00 -10.5182 00 0 16.8351V为A的特征向量，D为A的特征值，3个特征值是-25.3169、10.5182和16.8351。

>> A*Vans =-18.0503 -2.9487 4.600715.4017 8.2743 14.6886-8.8273 -5.7857 6.8190>> V*Dans =-18.0503 -2.9487 4.600715.4017 8.2743 14.6886-8.8273 -5.7857 6.8190经过计算，A*V=V*D 。

2、 不用rot90函数，实现方阵左旋90°或右旋90°的功能。

例如，原矩阵为A ，A 左旋后得到B ，右旋后得到C 。

147102581136912A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，101112789456123B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，321654987121110B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦提示：先将A 转置，再作上下翻转，则完成左旋90°；如将A 转置后作左右翻转，则完成右旋转90°，可用flipud 、fliplr 函数。

>> a=[1 4 7 10;2 5 8 11;3 6 9 12]a=1 4 7 102 5 8 113 6 9 12>> B=rot90(a)B =10 11 127 8 94 5 61 2 3>>C= rot90(s,3)C=3 2 16 5 49 8 712 11 103建立一个5*5矩阵，求它的行列式值、秩。

A=fix(10*rand(5)) H=det(A)Trace=trace(A)Rank=rank(A)Norm=norm(A)A =2 9 4 0 75 9 9 8 39 4 7 9 69 8 9 6 11 1 6 7 7H =-12583Trace =31Rank =5Norm =30.16014下面是一个线性方程组1231231231110.95 2341110.67 3451110.52 456x x xx x xx x x⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，（1）求方程的解。

A=[1/2,1/3,1/4;1/3,1/4,1/5;1/4,1/5,1/6]; b=[0.95,0.67,0.52]';x=inv(A)*b%(2):B=[0.95,0.67,0.53]';x=inv(A)*B%(3):cond(A)x =1.20000.60000.6000x =3.0000-6.60006.6000ans =1.3533e+003（2）将方程右边向量元素b3=0.52改为0.53再求解，并比较b3的变化和解的相对变化。

A=hilb(4)A(:,1)=[]A(4,:)=[]B=[0.95,0.67,0.52]';X=inv(A)*BB1=[0.95,0.67,0.53]';X1=inv(A)*B1N=cond(B)N1=cond(B1)Na=cond(A) %矩阵A为病态矩阵A =1.0000 0.5000 0.3333 0.25000.5000 0.3333 0.2500 0.20000.3333 0.2500 0.2000 0.16670.2500 0.2000 0.1667 0.1429A =0.5000 0.3333 0.25000.3333 0.2500 0.20000.2500 0.2000 0.16670.2000 0.1667 0.1429A =0.5000 0.3333 0.25000.3333 0.2500 0.20000.2500 0.2000 0.1667X =1.20000.60000.6000X1 =3.0000-6.60006.6000N =1N1 =1Na =1.3533e+003（3）计算系数矩阵的条件数并分析结论。

无5建立矩阵A，试比较sqrtm(A)和sqrt(A)，分析它们的区别。

A=[1,4,9;16,25,36;49,64,81]B=sqrtm(A)C=sqrt(A) %sqrtm函数是以矩阵为单位进行计算，sqrt函数是以矩阵中的元素进行计算A =1 4 916 25 3649 64 81B =0.6344 + 1.3620i 0.3688 + 0.7235i 0.7983 - 0.4388i1.4489 + 1.1717i2.7697 + 0.6224i3.2141 - 0.3775i4.3578 - 1.6237i5.7110 - 0.8625i 7.7767 + 0.5231iC =1 2 34 5 67 8 96将100个学生5门功课的成绩存入矩阵P中，进行如下处理：（1）分别求每门课的最高分、最低分及相应学生序号。

A=45+(95-45)*rand(100,5);[Y,U]=max(A)[X,U]=min(A)运行结果：Y =94.9721 93.9250 94.5146 94.3265 94.5999 U =94 80 45 14 87X =45.3517 45.6929 45.3851 45.0906 45.2279 U =48 23 27 23 60（2）分别求每门课的平均分和标准方差。

A=45+(95-45)*rand(100,5);aver=mean(A)s1=std(A)运行结果：aver =67.1876 70.1262 69.0017 71.0174 70.3569 s1 =13.2273 14.1307 13.8053 15.1191 14.7097（3）5门课程总分的最高分、最低分及相应学生序号。

A=45+(95-45)*rand(100,5);B=sum(A,2)disp('最高分及学号:'),[Y,U]=max(B)disp('最低分及学号:'),[X,U]=min(B)运行结果：最高分及学号:Y =432.6472U =84最低分及学号:X =287.6246U =50（4）将5门课总分按从大到小顺序存入zcj中，相应学生序号存入xsxh。

A=45+(95-45)*rand(100,5);B=sum(A,2);[X,I]=sort(B);zcj=flipud(X)xsxh=flipud(I)提示：编程时，为避免输入学生成绩的麻烦，可用取值范围在[45,95]之间的随机矩阵来表示学生成绩。

7利用MATLAB提供的rand函数生成30000个符合均匀分布的随机数，然后检验随机数的性质：（1）均值和标准方差；（2）最大元素和最小元素；（3）大于0.5的随机数个数占总数的百分比。

A=rand(1,30000);aver=mean(A)s1=std(A)max=max(max(A))min=min(min(A))k=find(A>0.5);a=length(k);disp('百分比是：'),per=a/30000运行结果：均值是：aver =0.4982s1 =0.2889max =1.0000min =4.8158e-005百分比是：per =0.49888分别用3种不同的数值方法求解线性方程组。

（提示：LU 函数、inv 函数）6525494133422139211x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-⎧⎪-+-=⎪⎨++-=⎪⎪-+=⎩ 9求函数3cos log ()xx x x x f x e ++=在(0,1)内的最小值。

10已知x=6，y=5，利用符号表达式：z =。

（提示：定义符号常数('6')x sym =，('5')y sym =） x=sym('6'),y=sym('5')x =6y =5>> z=(x+1)/(sqrt(3+x)-sqrt(y))z =7/(3-5^(1/2))11已知：1010100001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2100010101P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，a b c A d e f g hi ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求： （1）12B P P A =。

（2）B 的逆矩阵并验证结果。

（3）包括B 矩阵主对角线元素的下三角阵。

（4）B 的行列式值。

提示：用于数值矩阵分析的有关函数同样适用于符号矩阵。

验证结果时须将结果化简。

（1）B=P1⨯ P2⨯AP1=[0 1 0;1 0 0;0 0 1]P1 =0 1 01 0 00 0 1>> P2=[1 0 0;0 1 0;1 0 1]P2 =1 0 00 1 01 0 1>>a=sym('a');b=sym('b');c=sym('c');d=sym('d');e=sym('e');f=sym('f');g=sym('g');h=sym('h');i=sym('i');>> A=[a b c;d e f;g h i]A =[ a, b, c][ d, e, f][ g, h, i]B=P1*P2*AB =[ d, e, f][ a, b, c][ a+g, b+h, c+i]（2）B的逆矩阵并验证结果C=inv(B)C =[ (i*b-c*h)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b),(-e*c-i*e+f*b+f*h)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b),-(-e*c+f*b)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b)][ -(i*a-c*g)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b),-(-d*c-i*d+f*a+f*g)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b),(-d*c+f*a)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b)][ (a*h-b*g)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b),(-d*b-d*h+e*a+e*g)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b),-(-d*b+e*a)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b)] （3）包括B矩阵主对角线元素的下三角阵tril(B)ans =[ d, 0, 0][ a, b, 0][ a+g, b+h, c+l]（4）B的行列式值det(B)ans =i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b12 用符号方法求下列极限或导数。