F
A
D
M
O
N
B
C
E
结论
由此得到： 矩形是轴对称图形，过每一组对边中点
的直线都是矩形的对称轴.
练习
1. 已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的 一个夹角为60°，求矩形的各边长.
答：矩形的各边长分别为1cm和 3cm.
2. 如图，四边形ABCD 为矩形，试利用矩形的性质 说明：直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于
图2-46
结论
三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也 是直角，由此得到：
三个角是直角的四边形是矩形.
四边形中只有两个角 是直角，我想到了下边的图形：
动脑筋
从“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受 到启发，你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗？ 这样的矩形有多少个？
过点O 画两条线段AC，BD，使得 OA=OC=2cm，OB =OD=2cm. 连接AB， BC，CD，DA. 则四边形ABCD 是矩形， 且它的对角线长度为4 cm，如图2-47. 这样 的矩形有无穷多个.
斜边的一半.
证明 ∵ 四边形ABCD是矩形，
从而OA=OC
=
1 2
AC
，
OB=OD
=
1 2
BD
.
（矩形的对角线互相平分.）
又 AC=BD，(矩形的对角线相等.)
∴
OB=OA=OC
=
1 2
AC.
中考 试题
例
如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相 交于点O，若∠AOB=60°，AB=4cm，则AC的长 为 8 cm.
解析 由矩形性质及∠AOB=60°， 可得∠ ACB=30°. 在Rt△ABC中， ∵AB=4， ∴AC=2AB=8cm.
如图2-46，四边形ABCD 的四个角都是直角. 由于“同旁内角互补， 两直线平行”，因此AB∥DC，
AD∥BC，从而四边形ABCD 是平行四边形. 所以□ABCD
是矩形. 由此得到四个角是直角的四边形是矩形.
第一章 特殊平行四边形
观察
在小学，我们初步认识了长方形，观察图2-41 中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特 点呢？
图2-41
我发现这些长
方形的对边平行且 相等，因此，它们 是平行四边形.
这些四边形的四 个角都是直角.
在一个平行四边形中， 只要有一个角是直角，那 么其他三个角都是直角.
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， 也称为长方形.
图2-44
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O.
F
A
D
O
B
C
E
过点O作直线EF⊥BC，且分别与边BC ，AD相交于点E，F.
由于
OB
=
1 2
BD
=
1 2
AC
=OC
，因此△OBC是等腰三角
形，从而直线EF是线段BC的垂直平分线.
F
A
DOBຫໍສະໝຸດ CE由于AD∥BC，因此EF⊥AD. 同理，直线EF是 线段AD的垂直平分线.
因此 △ABC≌△DCB. (SSS)
从而 ∠ABC=∠DCB. 又∠ABC+∠DCB =180°，
于是 ∠ABC=90°.
所以 □ABCD是矩形.
图2-47
结论
由此得到矩形的判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形.
议一议
对角线相等的四边形是矩形吗？
例2 如图2-48，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O. （1）如果□ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样
以是 AC=BD 或 ∠ABC，∠CDA，∠BAD，∠BCD
之中有任一个角为直角
.
解析 依据矩形的判定，对角线相等的平行 四边形是矩形或有一个角是直角的平行 四边形是矩形.
平行四边形 有一个角是直角 矩形
结论
可以知道：
矩形的四个角都是直角，对边相等， 对角线互相平分.
结论
由于矩形是平行四边形，因此
矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的 对称中心.
动脑筋
如图2-42，四边形ABCD为矩形，那么对角 线AC与DB相等吗？
图2-42
如图，四边形ABCD是矩形，
于是有 AB=DC， ∠CBA=∠BCD=90° ，
从而
OA=OB
=
1 2
AC
= 2cm.
又∠AOB = 60°，
∴ △AOB是等边三角形.
∴ AB=OA=2cm.
∵ ∠ABC = 90°， ∴ 在Rt△ABC中，
图2-43
BC AC 2 AB2 42 22 2 3(cm).
做一做
在纸上画一个矩形ABCD(如图2-44)，把它剪下来， 怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这 个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图 形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？
因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于 直线EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形 ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称 图形，直线EF是矩形ABCD的一条对称轴.
类似地，过点O作直线MN⊥AB，且分别与边 AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，
DC的中点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.
2cm 2cm
图2-47
你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？
如图2-47，由画法可知，四边形ABCD的两条对 角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角 线相等，上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行 四边形是矩形吗？
我们来进行证明.
在□ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，
的三角形？ （2）如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么
□ABCD是矩形吗？
图2-48
解 （1） ∵□ABCD是矩形，
∴ AC与DB相等且互相平分.
∴ OB 1 DB 1 AC OC .
2
2
∴ △OBC是等腰三角形.
（2） ∵ △OBC是等腰三角形，其中OB = OC， ∴ AC = 2OC = 2OB = BD.
作OE⊥AD于点E.
在Rt △OAE中，AO=2，OE= 1 AB=1，
E
2
∴ AE 3，
∴ AD 2 3 .
∴ S矩形 ABCD =AD AB 2 3 2 4 3 .
中考 试题
例
在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，
交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边
形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可
BC=CB.
因此 △CBA≌△BCD. (SAS)
从而
AC=BD.
即矩形的对角线相等.
图2-42
结论
由此得到矩形的性质： 矩形的对角线相等.
例1 如图2-43，矩形ABCD的两条对角线AC ，BD相 交于点O，AC = 4 cm， ∠AOB = 60°. 求BC的长.
图2-43
解
∵ □ABCD是矩形，
∴ □ABCD是矩形.
图2-48
例3 如图：在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O,EF⊥AC, O 是垂足，EF分别交AB、CD于点E、F，且BE=OE=0.5AE 求证: ABCD是矩形
练习
1. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D， 求证：四边形ABCD是矩形.
证明：因为四边形中，∠A=∠B=∠C=∠D ， 四边形的内角和为360°， 所以∠A=∠B=∠C=∠D= 90° ， 所以四边形ABCD是矩形.
(三个角是直角的四边形是矩形.)
2. 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∠AOB = 60°，AB= 2，AC= 4，求□ABCD的面积.
解： ∵ OA= 1 AC=2，AB= 2， 2
∴ △OAB是等腰三角形. 又∠AOB = 60°， ∴ △OAB是等边三角形.
∴ OA=OB=2， ∴ AC=BD=4. ∴ □ABCD是矩形. (对角线相等的平行四边形是矩形.)